This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project to make the world's books discoverable online.
It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover.
Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the publisher to a library and finally to you.
Usage guidelines Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying.
We also ask that you:
Ἔ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individual personal, non-commercial purposes.
and we request that you use these files for
Ὁ Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the use of public domain materials for these purposes and may be able to help.
Ἢ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.
* Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner anywhere in the world. Copyright infringement liability can be quite severe.
About Google Book Search
Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web a[nttp: //books . google. con/]
EUCLIDIS
OPERA OMNIA.
I. L. HEIBERG ET H. MENGE.
&
LIPSIAE IN AEDIBUS B. G, TEUBNERI.
MDCCCLXXXV.
EUCLIDIS
ELEMENI A.
fé f- c$7 EDIDIT ET LATINE INTERPRETATUS EST
I. L. HEIBERG,
DER. PHIL.
————ÓM
UOL. IV. LIBROS XI—XIII CONTINENS.
Bi
LIPSIAE IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI.
MDCCCLXXXV.
LIPSIAE: TYPIS B. 6. TEUBNERI.
PRAEFATIO.
— át
Prodit iam, uti dixeram in uol. II p. XXII, quartum Elementorum uolumen ante tertium, id quod hoc ad- tulit incommodum, quod propositiones quaedam libri X non iis numeris citandae erant, quibus in editionibus uulgatis feruntur, sed iis, quibus in hac editione cum codicibus significabuntur. sed hoe incommodum edito ierlio uolumine sublatum erit, e£ nunc quoque propo- siliones illae facile reperientur addita ad numerum a me citatum unitate.
In hoc uolumine praeter codices solitos PBF V *) (u. uol. I p. VIII—IX) his subsidiis usus sum:
b — cod. Bononiensi, de quo u. uol. I p. IX; extremam partem libri XI et totum librum XII in append. II recepi, sicut in codice legitur; cfr. p. 385 not.
q — cod. Parisino 2844, de quo ἃ. uol. II p. V. usur- patus est ab initio libri XII, quia in XII, 3 p. 154, 1 deficit F.
*) Hoc loco additamenta quaedam cod. B subiungam, uibus in adparatu locus non fuit. XI, 4 enim p. 14, 1 supra ἀπειλήφϑωσαν add. τετμήσϑωσαν m. rec. XI, 10 p. 80, 2 supra παρά add. ἤτοι παράλληλοι ταῖς δυσὶν εὐθείαις ταῖς ἁπτομέναις ἀλλήλων m.rec. XII, 12 p. 208, 9 in mg. add. pro scholio ὀρϑὴ γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν m. 1.
VI PRAEFATIO.
L — eod. palimpsesto Londinensi Musei Britannici Add. 17211, qui praeter partes quasdam libri X etiam XIII, 14 continet ab initio p. 296, 3 ad uocabulum ἴση p. 300, 4. de hoc codice pluri- bus egi et scripturam plenam edidi in Philologi uol. XLIV p. 353—366.
Praeuideram fore, ut inter hoc uolumen et prius satis magnum temporis spatium intercederet; sed maius eliam euenit, quam putaueram, quia interim nouum munus scholastieum suscepi et praeterea alio opere ad usum scholarum destinato occupatus fui. sed finito iam hoc labore et primis difficultatibus noui officii superatis spero, me breui hoc opus diuturnum ad finem perducturum esse, praesertim cum materiam reli- quorum uoluminum iam omnem fere collectam habeam.
Ser. Hauniae mense Iunio MDCCCLXXXV. I. L. Hoeiberg.
ΣΤΟΙΧΈΕΤΙΑ.
Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV.
10
1ὅ
20
,
ια΄. Ὅροι.
α΄. Στερεόν ἐστι τὸ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάϑος ἔχον.
β΄. Στερεοῦ δὲ πέρας ἐπιφάνεια.
γ΄. Εὐϑεῖα πρὸς ἐπίπεδον ὀρϑή ἐστιν, ὅταν πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ [ὑποκειμένῳ] ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιῇ γωνίας.
0. ᾿ΕἘπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρϑόν ἐστιν, ὅταν αἷ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρϑὰς ἀγό- μεναι εὐθεῖαι ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ λοιπῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ὦσιν. ε΄. Εὐϑείας πρὸς ἐπίπεδον κλίσις ἐστίν, ὅταν ἀπὸ τοῦ μετεώρου πέρατος τῆς εὐθείας ἐπὶ τὸ ἐπίπε- δον κάϑετος ἀχϑῇ, καὶ ἀπὸ τοῦ γενομένου σημείου ἐπὶ τὸ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ πέρας τῆς εὐθείας εὐθεῖα ἐπι- ξευχϑῇ. ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῆς ἀχϑείσης καὶ τῆς ἐφεστώσης.
ς΄. Ἐπιπέδου πρὸς ἐπίπεδον κλίσις ἐστὶν ἡ περιεχομένη ὀξεῖα γωνία ὑπὸ τῶν πρὸς ὀρϑὰς τῇ κοινῇ τομῇ ἀγομένων πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων.
Def. 1—2. Hero def. 13, Psellus p. 49. 3—4. Hero def. 115, 2.
Εὐκλείδου στοιχείων τὰ PV et b, sed mg. m. 1: ye. στε- ρεῶν. Εὐκλείδου στερεῶν α στοιχ. ix Β. Εὐκλείδου στερεῶν τὰ, add. στοιχείων F. 1. ὅροι] om. codd. Numeros om. oodd.
7. ὑποκειμένῳ] supra acr. m. rec. P, supra m. 1 V; αὐτῷ b, mg.
ΧΙ.
Definitiones.
1. Solidum est, quod longitudinem et latitudinem et altitudinem habet.
2. Terminus autem solidi superficies est.
9. Recta ad planum perpendicularis est, ubi ad omnes rectas eam tangentes et in plano illo ductas rectos angulos efficit.
4. Planum ad planum perpendiculare est, ubi rectae ad communem sectionem planorum perpendiculares in alierutro planorum ductae ad alterum planum perpen- diculares sunt.
5. Rectae ad planum inclinatio est, ubi ab eleuato iermino rectae ad planum perpendicularis: ducitur, et ab puncto ita orto ad terminum rectae in plano po- situm recta ducitur, angulus a recta ita ducta et ab erecía comprehensus.
6. Plani ad planum inclinatio est angulus acutus comprehensus a rectis in utroque plano ad idem punctum perpendieularibus ad communem sectionem ductis.
m. 1: yg. ὑποκειμένῳ; F mg. m. 1: yo. ἐν τῷ αὐτῷ. ποιεῖ F, et P, corr. m. 2. 9. πρός — 10. ἐπιπέδων] mg. m. iV. 10. τῷ] καὶ τῷ V, καί supra scr. m. 2 F. 12. εὐϑείας] -ας post ins. m. 1 P. εὐθείας — 17. ἐφεστώσης] m. 2 B, om. Fb. — 15. ἐπὶ τό] P, ἀπὸ τοῦ B (sed corr.), in ras. V, m. rec. P. πέρας] P, πέρα- τος B (sed corr), e corr. V, m. rec. P. 19. ὀξεῖα) om. V (ras. est 8 litt). 20. Post τομῇ 'spatium 4 litt. relinquitur in F. τῶν ἐπιπέδων) corr. ex τῆς ἐπιπέδου m. 1 b.
1*
b
10
15
20
2b
4 ZTOIXEIOSN ια΄.
ξ΄. ᾿Ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὁμοίως κεκλίσϑαι λέγεται καὶ ἕτερον πρὸς ἕτερον, ὅταν αἴ εἰρημέναι τῶν κλίσεων γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν.
η΄. Παράλληλα ἐπίπεδά ἐστι τὰ ἀσύμπτωτα.
9'. Ὅμοια στερεὰ σχήματά ἐστι τὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχόμενα ἴσων τὸ πλῆϑος.
. Ἴσα δὲ καὶ ὅμοια στερεὰ σχήματά ἐστι τὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχόμενα ἴσων τῷ πλήϑει καὶ τῷ μεγέϑει.
ια΄. Στερεὰ γωνέα ἐστὶν ἡ ὑπὸ πλειόνων ἢ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐν τῇ αὐτῇ ἐπι- φανείᾳ οὐσῶν πρὸς πάσαις ταῖς γραμμαῖς κλέσις. "AÀ- λως᾽ στερεὰ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ πλειόνων ἢ δύο yo- νιῶν ἐπιπέδων περιεχομένη μὴ οὐσῶν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνισταμένων.
iB. Πυραμίές ἐστι σχῆμα στερεὸν ἐπιπέδοις περι- ᾿χόμενον ἀπὸ ἑνὸς ἐπιπέδου πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνεστώς.
ιγ΄. Πρφίσμα ἐστὶ σχῆμα στερεὸν ἐπιπέδοις περι- ἐχόμενον, ὧν δύο τὰ ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ Ouod. ἐστι καὶ παράλληλα, τὰ δὲ λοιπὰ παραλληλόγραμμα.
ιδ΄. Σφαῖρά ἐστιν, ὅταν ἡμικυχλίου μενούσηςτῆς δια- μέτρου περιενεχϑὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀπο- κατασταϑῇ, ὅϑεν ἤρξατο φέρεσϑαι, τὸ περιληφϑὲν σχῆμα.
ιε΄. ἄξων δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶν ἡ μένουσα εὐθεῖα, περὶ ἣν τὸ ἡμικύκλιον στρέφεται.
ιΞ΄. Κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶ τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ ἡμικυχλίου.
8. Hero def. 116, 2. 9. ib. 118, 2. 11. ib. 924. 12. ib. 100. 14. ib. 77. 11—165. Psellus p. 49—50.
8. oc, Vb. 4. παράλληλα ἐπί- in ras, -πεδα mg. m. 2 V. 6. ὑπό] corr. ex ἀπό m. 1 b. 19. πρός] B; ἡ πρός
ELEMENTORUM LIBER XI. 5
1. Planum ad planum similiter inclinatum dicitur atque aliud planum ad aliud, ubi anguli inclinationum, quos definiuimus, aequales suni inter se.
8. Parallela.plana sunt, quae non concurrunt.
9. Similes figurae solidae sunt, quae planis simi- libus eontinentur numero aequalibus.
10. Aequales autem et similes figurae solidae sunt, quae planis similibus continentur et numero et magni tudine aequalibus.
11. Solidus angulus est amplius quam duarum reciarum inter se tangentium nec in eadem superficie positarum ad omnes rectas inelinatio.!) Aliter. Soli- dus angulus est, qui amplius quam duobus angulis planis continetur non in eodem plano positis et ad unum punctum coniunctis.
12. Pyramis est figura solida planis comprehensa, quae ab uno plano ad unum punctum componitur.
13. Prisma est figura solida planis comprehensa, quorum duo opposita et aequalia.et similia sunt, re- liqua autem parallelogramma.
14. Sphaera est figura comprehensa, ubi manente diametro semicireuli semicirculus. circumactus rursus ad eundem locum restituitur, unde ferri coeptus est.
15. Axis autem sphaerae est recta manens, cireum quam semicirculus circumagitur.
.16. Centrum autem sphaerae idem est ac semicireuli.
1) Haec definitio, quae loquendi genere ab Euclide ab- horret, fortasse ex Elementis antiquioribus &b eo desumpta est.
PFVb. 418. émuxíóov" γωνιῶν’ F, ἐπιπέδων γωνιῶν B. 15. Ànte é»/ del. ey F.— 17. συνεστός Bb; in P non liquet. 18. ἐστίν PF. 19. ὧν] om. g. 20. ἐστιν F. 242. τὸ ἡμι- κύκλιον] mg. m. 1 b. 26. ἐστέν F.
σι
10
1ὅ
2
2ῦ
.Φ
6 ZTOIXEIQN ια΄.
ιζ΄. Διάμετρος δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶν εὐϑεῖα τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας.
ιη΄. Κῶνός ἐστιν, ὅταν ὀρϑογωνίου τριγώνου με- νούσης μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιενεχϑὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατα- σταϑῇ. ὅϑεν ἤρξατο 'φέρεσϑαι, τὸ περιληφϑὲν σχῆμα. κἂν μὲν ἡ μένουσα εὐθεῖα ἴση y τῇ λοιτῇ [τῇ] περὶ τὴν ὀρϑὴν περιφερομένῃ, ὀρθϑογώνιος ἔσται ὁ κῶνος, ἐὰν δὲ ἐλάττων, ἀμβλυγώνιος, ἐὰν δὲ usifov, ὀξυγώνιος.
i. “ἄξων δὲ τοῦ κώνου ἐστὶν ἡ μένουσα εὐθεῖα, περὶ ἣν τὸ τρίγωνον στρέφεται.
x. Βάσις δὲ Ó κύκλος ὁ ὑπὸ τῆς περιφερομένης εὐϑείας γραφόμενος.
κα΄. Κύλινδρός ἐστιν, ὅταν ὀρϑογωνίου παραλ- ληλογράμμου μενούσης μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρϑὴν γωνίαν περιενεχϑὲν τὸ παραλληλόγραμμον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταϑῇ, ὅϑεν ἤρξατο φέρεσϑαι,
᾿τὸ περιληφϑὲν σχῆμα.
κβ΄. ἄξων ὃὲ τοῦ κυλίνδρου ἐστὶν ἡ μένουσα εὐθεῖα, περὶ ἣν τὸ παραλληλόγραμμον στρέφεται.
κγ΄. Βάσεις δὲ οἱ κύκλοι o ὑπὸ τῶν ἀπεναντίον περιαγομένων δύο πλευρῶν γραφόμενοι.
κὃ΄. Ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροί εἰσιν, ὧν ot τε ἄξονες καὶ αἴ διάμετροι τῶν βάσεων ἀνάλογόν εἰσιν.
18. Hero def. 84, 9. 21—28. ib. 96. 18 —23. Psellus p. 90. )
1. σφαίρας] c- suprà scr. mJ. 1P. 8. τά] om. b. μέρει g. 4. τρι- ἴῃ ras, m. 1 B... 5. πλευρᾶς μιᾶς τῶν) corr. ex τοῦ m. 1b. ὀρϑήν] om. Vb, -» euan. F. γωψία g. 8. τῇ]
ELEMENTORUM LIBER XI. T
17. Diametrus autem sphaerae est recta aliqua per centrum. ducta οὐ ad utramque partem superficie sphaerae terminata.
18. Conus est figura comprehensa, ubi manente alterutro latere trianguli rectanguli eorum, quae rectum angulum comprehendunt, triangulus cireumactus rursus ad eundem locum restituitur, unde ferri coeptus est. ei si recta manens aequals est reliquae ad angulum rectum positae, quae circumagitur, conus rectangulus erit, sin minor est, obtusiangulus, sin maior, acuti- angulus.
19. Axis autem coni recta est manens, circum quam iriangulus circumagitur.
20. Basis autem circulus est, qui a recía circum- acta describitur.
21. Cylindrus est figura comprehensa, ubi alterutro laterum parallelogrammi rectanguli rectum angulum comprehendentium manente parallelogrammum circum- actum rursus ad eundem locum restituitur, unde ferri coeptum est.
29. Axis autem cylindri recta est manens, circum quam parallelogrammum circumagitur.
23. Bases autem circuli sunt, qui a duobus late- ribus inter se oppositis in cireumagendo describuntur.
24. Similes coni et cylindri sunt, quorum axes et basium diametri proportionales Sunt.
m, rec. P, om. Vbg. 89. Post ὀρϑήν add. yovíay Psellus et F, sed punetis del. 10. ἀμβυγωνιος φ. 12. δέ] supra scr. m. 1 V. εὐθεῖα] om. V. 16. δέ ἐστιν V. 18. γωνίαν] om. Β. 28. βάσις Vbg. ἀπεναντίέων b. 26. ἀνάλογοι V b.
ὦσιν P, εἰσι Vb
10
16
20
8 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ α΄.
κε΄. Κύβος ἐστὶ σχῆμα στερεὸν ὑπὸ ἕξ τετραγώ- νῶν ἴσων περιεχόμενον.
κα΄. Ὀχτάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ ὀχτὼ τριγώνων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.
κξ΄. Εἰκοσάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.
κη΄. Δωδεκάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ δω- δεκα πενταγώνων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον.
7,
e.
Εὐϑείας γραμμῆς μέρος μέν τι ovx ἔστιν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι ἐν μετεω- φοτέρῳ. |
Ei γὰρ δυνατόν, εὐθείας γραμμῆς τῆς ABI ué- οος μέν τι τὸ 48 ἔστω ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι τὸ BI' ἐν μετεωροτέρῳ.
Ἔσται δή τις τῇ AB συνεχὴς εὐθεῖα ἐπ᾽ εὐϑείας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ. ἔστω ἡ Bat: δύο ἄρα εὐθειῶν τῶν ABI, 484 κοινὸν τμῆμά ἐστιν ἡ AB: ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον, ἐπειδήπερ ἐὰν κέντρῳ τῷ Β καὶ διαστήματι τῷ 418 κύκλον γράψωμεν, αἱ διάμετροι ἀνίσους ἀπολήψονται τοῦ κύκλου περιφερείας.
Εὐϑείας ἄρα γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν
25. Hero def, 104. 26. ib. 102. 97. ib. 101. 28. ib. 108. 25—28. Psellus p. 50—51.
2. Post ἴσων eras. καὶ ἰσοπλεύρων V. Def. 297—928 hoc ordine habent P et Psellus; permutauit Theon (BFVb). 5. σχῆμα στερεόν) τό V, et b, sed mg. m. 1: ye. σχῆμα στερεόν. εἴκοσι) x F. 7. ἐστιν F. δώδεκα] in ras. V. 8. -yo- νέων supra ras, m. 1 V. 10. ϑεώρημα α΄ V. 19. τι ἐν τι ἐν τῷ ΒΕ. μετεώρῳ b, mg. m. 1: yo. ἐν τῷ μετεωροτέρῳ. 16. ἐν] ἐν τῷ F. 18. ἄρα] δή D, supra scr. m. 1.
ELEMENTORUM LIBER XI. 9
25. Cubus est figura solida sex quadratis aequa- libus comprehensa.
26. Octaédrum est figura solida octo triangulis aequalibus et aequilateris comprehensa.
27. Icosaédrum est figura solida uiginti triangulis aequalibus et aequilateris comprehensa.
28. Dodecaédrum est figura solida duodecim pen- iagonis aequalibus et aequilateris et aequiangulis com- prehensa.
I.
Fieri non potest, ut rectae lineae pars sit in plano subiacenti, pars autem in eleuatiore.
Nam si fieri potest, rectae lineae 4BI' pars 48
Γ sib in plano subiacenti, pars autem ΒΓ in eleuatiore.
erit igitur in plano subiacenti recta aliqua rectam 4 B in directum continuans. sit B 7. itaque duarum reetarum ΑΒΓ, A B 4 pars communis est 4B; quod fieri non potest, quia, si centro B, radio autem AB circulum descripserimus, diametri [4BI' 484] inaequales arcus circuli abscindent.!)
Ergo fieri non potest, ut rectae lineae pars sit in
1) Eos scilicet, qui inter puncta 4, I' et inter 4, 4 positi Sunt. tum cfr. I def. 17.
19. δοϑεισῶν εὐθειῶν Theon (BF Vb) AB] B in ras. m. 1 B. 7] inras. V, τό b. 20. ἐστιν] om. V. ἐπειδήπερ — 32. περι- φερείας] P (ἐάν m. 1 ex ἄν corr); εὐθεῖα γὰρ εὐθείᾳ οὐ συμ- βάλλει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ καϑ᾽ ἕν᾽ εἰ δὲ μή, ἐφαρμόσουσιν ἀλλήλαις αἴ εὐθεῖαι Theon? (BF V b); idem mg. m. rec. P., add. οὕτως iv ἄλλοις εὕρηται, ἔπειτα τό εὐθείας ἄρα γραμμῆς.
οι
10
1
σι
—.90
25
10 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ :«'.
τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν μετεωροτέρῳ᾽ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. p.
Ἐὰν δύο εὐϑεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, ἐν évé εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν éví ἐστιν ἐπιπέδῳ.
ΖΔύο γὰρ εὐϑεῖαι αἱ AB, ΓΖ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ E σημεῖον" λέγω, ὅτι αἱ AB, Γ4 ἐν éví εἶσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
Εἰλήφϑω γὰρ ἐπὶ τῶν EI, ΕΒ τυχόντα σημεῖα τὰ Z, H, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἵ ΓΒ, ZH, καὶ διήχϑω- σαν αἱ ZO, HK: λέγω πρῶτον, ὅτι τὸ ΕΓΒ τρί- γῶνον ἐν ἕνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. εἰ γάρ ἐστι τοῦ ΕΓΒ τριγώνου μέρος ἦτοι τὸ ΖΘΙΓ ἢ τὸ HBK ἐν τῷ ὑπο- κειμένῳ [ἐπιπέδῳ], τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ, ἔσται καὶ μιᾶς τῶν EI', ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑπο- κειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ. εἰ δὲ τοῦ ΕΓΒ τριγώνου τὸ ΖΓΒΗ͂ μέρος ἡ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπι- πέδῳ, τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ, ἔσται καὶ ἀμφοτέρων τῶν ΕΓ, ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑποκειμέμῳ ἐπι- πέδῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ᾽ ὅπερ ἄτοπον ἐδείχϑη. τὸ ἄρα ΕΓΒ τρίγωνον ἐν ἕνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἐν ᾧ δέ ἐστι τὸ ΕΓΒ τρίγωνον, ἐν τούτῳ καὶ ἑχατέρα τῶν EI, ΕΒ, ἐν ᾧ δὲ ἑκατέρα τῶν ΕΓ, EB, ἐν τούτῳ καὶ αἵ AB, ΓΖ. αἵ AB, ΓΖ ἄρα εὐϑεῖαι ἐν ἕνί εἰσιν ἐπι- πέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν éví ἐστιν ἐπιπέδῳ" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
1. τὸ δέ] Pb, μέρος δέ τι ΒΕΥ͂. ἐν] ἐν τῷ Ε. 7. αἵ om. F. 10. E T, EB] in ras. V. 11. l'B] corr. in ΒΓ 12. Ε ΓΒ] litt. B in ras.m.1P; EBI'B. 14. ZI' P.
iv — 15. ἄλλῳ] om. b, mg. m. 1 V. 15. ἐπιπέδῳ] om. P.
ELEMENTORUM LIBER XI. 11
plano subiacenti, pars autem in eleuatiore; quod erat demonstrandum.
II.
Si duae rectae inter se secant, in eodem plano sunt, et omnis triangulus in eodem plano est.
Nam duae rectae 4B, ΓΖ inter se secent in puncto E. dico, rectas 4B, ΓΖ in eodem plano esse, οὖ omnem triangulum in eodem plano esse.
sumantur enim in EI, EB quaelibet puncta Z, H, et ducantur I'B, ZH et eas secantes ZO, HK. dico primum, triangulum EI'B in eodem plano esse.
nam si pars trianguh ΕΓΒ uel ZeT
4. 4 wel HBK in subiacenti est, reliquum
/^ autem in alio, etiam rectarum ΕΓ, EB
Z H . pars in plano subiacenti, pars autem in alio erit. sin trianguli EI'B pars, quae est ZI'BH, in plano subiacenti est, re- liquum autem in alio, etiam utriusque rectae ΕΓ, EB pars in subiacenti plano erit, pars autem in alio; quod demonstrauimus absurdum esse [prop. I]. ergo iriangulus EI'B in eodem plano est. in quo autem est triangulus ΕΓΒ, in eo est etiam utraque ET, EB, in quo uero utraque EI', EB, in eo etiam 4B, ΓΖ sunt [prop. I]. ergo rectae 4B, ΓΖ in eodem plano sunt, et omnis triangulus in eodem plano est; quod erat demonstrandum.
II. Galen. III. p. 880.
16. EB] ΓΒ g. 18. lZBH V. 7] P, εἴη BFVb, ἐστιν bene Áugust. 19. ἔσται) εἴη ἂν F. 20. EB, ΕΓῈ. 91. ααλλωι F. 929. ΕΓΒ] litt. I'B in ras. V, ἘΒ΄ Γ' b. 23. ED'B] litt. ΓΒ in ras. V, EB'I" b. 9484. EB, ΕΓ Vb.
26. εὐϑεῖα q (non F). 27. δεῖξαι) :c- F.
rl ek B
10
1ὅ
20
25
19 XTOIXEION ια΄.
7. .
Ἐὰν δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα, ἢ κοινὴ αὐτῶν τομὴ εὐϑεῖα ἐστιν.
Zio γὰρ ἐπίπεδα τὰ 4B, ΒΓ τομνέτω ἄλληλα, κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ AB γραμμή" λέγω. ὅτι ἡ 4B γραμμὴ εὐθεῖα ἐστιν.
Εἰ γὰρ μή, ἐπεξεύχϑω ἀπὸ τοῦ 244 ἐπὶ τὸ B iv μὲν τῷ AB ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ A4EB, ἐν δὲ τῷ ΒΓ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ 428. ἔσται δὴ δύο εὐθειῶν τῶν ΔΕΒ, 428 τὰ αὐτὰ πέρατα, καὶ περιέξουσι δηλαδὴ χωρίον᾽ ὅπερ ἄτοπον. οὔκ ἄρα αἴ AEB, 4128 εὐϑεῖαί εἰσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις ἀπὸ τοῦ Zi ἐπὶ τὸ B ἐπιξευγνυμένη εὐθεῖα ἔσται πλὴν τῆς 4B κοινῆς τομῆς τῶν 48, ΒΓ ἐπιπέδων.
᾿Εὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα, ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ εὐθεῖα ἐστιν ὅπερ £s, δεῖξαι.
δ΄.
Ἐὰν εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλή- λας πρὸς ὀρϑὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπι- σταϑῇ; καὶ τῷ δι’ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται.
Εὐϑεῖα γάρ vig ἡ ΕΖ δύο εὐϑείαις ταῖς AB, I4 τεμνούσαις ἀλλήλας κατὰ τὸ E σημεῖον ἀπὸ τοῦ E πρὸς ὀρϑὰς ἐφεστάτω᾽ λέγω, ὅτι y EZ καὶ τῷ διὰ τῶν 48, Γ4 ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν.
8. ἐστι V, comp. Ὁ. 4. BI']| Γ4Ῥ. τεμνέτωσαν BFYVb. 7. τό] τοῦ φ. 9. ἔσται δή] ἔστω μὲν ἡ q. . 10. περιέξουσιν PV, et B, sed corr.; F hic legi uix potest. 12. δή] δέ Pb. οὐδ᾽ Vb. 18. ἐστι F. 16. ἐστιν ἡ 48 F. 18. ἐάν
ELEMENTORUM LIBER XI. 13
I1.
Si duo plana inter se secant, communis eorum sectio recta est.
Nam duo plana 4B, BI'inter se secent, et com- munis eorum sectio sit linea 7/B. dico, lineam 4B rectam esse.
nam si minus, ab 4 ad B in plano AB ducatur recta ZEB, in plano autem ΒΓ recta ZZB. itaque
duarum rectarum Z/EB, 428 iidem B lermini erunt, et ita spatium compre-
hendent; quod absurdum est. quare 4/EB,
2428 rectae non sunt. similiter demon- /| 4 Siabimus, ne aliam quidem ullam a 4
ad B duclam rectam esse praeter ZB
communem sectionem planorum 4 B, BI. Ergo si duo plana inter se secant, communis eorum sectio recta est; quod erat demonstrandum.
T
| IV. Si recta ad duas rectas inter se secantes in com- muni sectione perpendicularis
Z ANS erecta erit, etiam ad planum 74 χ᾽ earum perpendicularis erit. 4. Nam recta EZ ad duas B rectas 48, ΓΖ inter se in
puncto E secantes ab E per- pendicularis erecta sit. dico, EZ etiam ad planum rectarum 4B, I'Z/ perpendicularem esse.
— 19. ὀρϑας] in ras. V. — 20. αὐτόν F, sed corr. 22. εὖ- ϑείας τάς b. 238. τεμνούσας b. — 25. τῶν] τῆς b, corr. m. 1.
cx
10
1
e
20
25
14 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
᾿“πειλήφϑωσαν γὰρ αἱ AE, ΕΒ, ΓΕ, Ez ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ διήχϑω τις διὰ τοῦ E, ὡς ἔτυχεν, ἡ HEO, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 44, ΓΒ, καὶ ἔτι ἀπὸ τυχόντος τοῦ Z ἐπεξεύχϑωσαν αἱ Z4, ZH, Z4, ZI ZO, ZB. καὶ ἐπεὶ δύὸ αἱ AE, Ez δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΒ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ 44 βάσει τῇ ΓΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ 4 2 τρίγωνον τῷ ΓΕΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται" ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ Z4AE γωνίᾳ τῇ ὑπὸ EBI' ἴση [ἐστίν]. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ AEH γωνία τῇ ὑπὸ ΒΕΘ ἴδη. δύο δὴ τρί- γωνά ἐστι τὰ AH E, ΒΕΘ τὰς δύο γωνίας δυσὶ yo- νέαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν AE τῇ EB' καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν. ἴδη ἀρὰ ἡ μὲν HE τῇ EO, ἡ δὲ AH τῇ ΒΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AE τῇ EB, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρϑὰς ἡ ΖΕ, βάσις ἄρα ἡ ΖΑ βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΖΓ τῇ Z4 ἐστιν i65. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ 44 τῇ IB, ἔστι δὲ καὶ ἡ ZA τῇ ZB ἴση, δύο δὴ αἱ ZA, AA δυσὶ ταῖς ZB, BI' ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρα" καὶ βάσις ἡ Z4 βάσει τῇ ΖΓ ἐδείχϑη ἴση" καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ Z44 γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση ἐστίν. καὶ. ἐπεὶ πάλιν ἐδείχϑη ἡ AH τῇ BO ἴση, ἀλλὰ μὴν καὶ q ZA τῇ ZB ἴση, δύο δὴ αἵ ZA, AH δυσὶ ταῖς ZB, BO ἴσαι εἰσίν. καὶ γωνία y ὑπὸ ZAH ἐδεί- χϑὴ ἴση τῇ ὑπὸ ΖΒΘ' βάσις ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ
8. ΠΕΘ] EO F, et V m. 1, corr. n. 3; Eeras. B. α -- 4. ἐπεξζεύυχϑωσαν]) postea ins. m. 1P. — 5. Ε 47 corr. ex EB m.2 F. 6. περιέχουσι F V b. 7. BI F. ἐστίν} comp. Fb, εἰσίν
8. τῷ) corr. ex τό m. 1 F. τριγώνῳ) om. BFVb.
ELEMENTORUM LIBER XI. 15
&abscindantur enim 4E, EB, ΓΕ, EZ inter se aequales, οὗ per E quaelibet recta H E ducatur, et ducantur 44/1, I'B, et praeterea & quolibet puncto Z ducantur Z4, ZH, Z4, ZI', ZO, ZB. et quoniam duae rectae 4E, ΕΖ duabus ΓΕ. EB aequales sunt el aequales angulos comprehendunt [I, 15), basis 44 basi ΓΒ aequalis est, et triangulus 4E71 triangulo ΓΕΒ aequalis (I, 4J. quare etiam [, 44 E — ΕΒΓ [id.]. uerum etiam [ 4EH — BEO [I, 15]. itaque duo trianguli sunt 4H E, BEG duos angulos duobus angulis allerum alteri aequalem habentes et unum latus uni lateri aequale, quod ad angulos aequales positum est, 4E — EB. itaque etiam reliqua latera reliquis lateribus aequalia habebunt [I, 26]. quare H E — ΕΘ, AH — BO. eti quoniam 4E — EB, et ΖΕ communis est et perpendicularis, erit Z4 — ZB [I, 4]. eadem de causa erit etiam ZI'zZ.. et quoniam 444/ —I'B et Z4 -— ZB, duo latera Z 4, 44 duobus lateribus ZB, BI' alterum alteri aequalia sunt; et demonstratum est, esse Zzf — ZI. eritigitur etiam ( Ζ.44 — ZBI'[I, 8]. et quoniam rursus de- monstratum eet, esse 4H — BO, οἱ est Z4 — ZB, duo latera Z4, 4H duobus ZB, ΒΘ aequalia sunt; eti demonstratum est, esse [| Z4 H — ZBO. itaque ZH —Z0 [], 4]. et quoniam rursus demonstratum
9. ἐστίν} om. P. 11. ἐστι] εἰσι F' V. 19. ἔχοντας g.
18. τήν) t4? V. τὰς ἴσας Vb. γωνίας bg. 14. τῇ] supra scr. m. 1b. 17.Z4] 4inras. B. 20. ἔστινΒ. | A4] 4e corr. V. 238. ἡ] m.2F. Ante ZA4 eras. τῶν F. στίν comp. b, ἐστί P. 96. Ζ47 (alt.) 4 6 corr. m. 1 F. 296. εἰσίν comp. F, εἰσι Vb. ZAH] corr. ex ΖΑΒ τῷ 1b. 27.Z2B60] B ecorr. m. 1 F. ἄρα] om. V. ZH] H"Z' b.
16 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
ΖΘ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐδείχϑη ἡ ΗΕ τῇ ΕΘ, κοινὴ δὲ ἡ. ΕΖ, δύο δὴ αἱ HE, EZ δυσὶ ταῖς GE, EZ ἴσαι εἰσίν. καὶ βάσις ἡ ZH βάσει τῇ ΖΘ ἴση" γωνία ἄρα ἣ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ ὅ ἴση ἐστίν. ὀρϑὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΗΕΖ, ΘΕΖ γωνιῶν. ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς τὴν ΗΘ τυχόντως διὰ τοῦ Ε ἀχϑεῖσαν ὀρϑή ἐστιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΖΕ καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐϑείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιήσει γω- 10 νέας. εὐθεῖα δὲ πρὸς ἐπίπεδον ὀρϑή ἐστιν, ὅταν πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιῇ γωνίας: ἡ ΖΕ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. τὸ δὲ ὑπο- κείμενον ἐπίπεδόν ἐστι τὸ διὰ τῶν 48, L'A εὐϑειῶν. 15 ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῷ διὰ τῶν AB, I4 ἐπιπέδῳ. Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρϑὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταϑῇ, καὶ τῷ δι᾽ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται" ὅπερ ἔδει δεῖξαι
[4
20 e €. Ἐὰν εὐϑεῖα τρισὶν εὐϑείαις ἁπτομέναις ἀλλήλων πρὸς ὀρϑὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπι- σταϑῇ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ. Εὐϑεῖα γάρ τις ἡ 48 τρισὶν εὐθείαις ταῖς BI, 35 ΒΖ, BE πρὸς ὀρϑὰς ἐπὶ τῆς κατὰ τὸ B ἁφῆς ἐφε- στάτω᾽ λέγω, ὅτι αἱ ΒΓ, Β4, BE ἐν ἑνί εἰσιν ἐπι- πέδῳ.
8. εἰσίν) comp. F. — 5. ἐστιν ἴση BFV. — 6. ἡ διά b. 7. ἀχθεῖσα Fb. δή] om. F. 8. αὐτῆς] corr. ex αὐτῇ m. 1 B. 9. τῷ] τῷ αὐτῷ F, sed corr. 11. πρός] ins. m.
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 11
est, esse H E — ΕΘ, et Z E communis est, duo latera HE, EZ duobus € E, EZ aequalia sunt; οὐ ZH — Z6. itaque ( ΗΕΖ — ΘΕΖ [I, 8]. itaque uterque angulus ΗΕΖ, EZ rectus est [I def. 10]. ergo ΖΕ ad rectam ΗΘ fortuito per E ductam perpendicularis est. lam eodem modo demonstrabimus, Z E ad omnes rectas eam tangentes ei in plano subiacenti positas rectos efficere angulos. recta autem ad planum perpendicu- laris est, ubi ad omnes rectas eam tangentes et in eodem plano ductas rectos angulos efficit [def. 3]. itaque ΖΕ ad planum subiacens perpendicularis est. subiacens autem planum id est, quod per rectas 48, ΓΖ ductum est. itaque Z E ad planum rectarum 4B, I'4 perpendicularis est.
Ergo si recta ad duas rectas inter se secantes in communi sectione perpendicularis erecta erit, etiam ad planum earum perpendicularis erit; quod erat demon- strandum.
. V.
Si recta ad tres rectas inter se tangentes in com- muni sectione perpendicularis erecta erit, ires illae rectae in eodem plano sunt.
Nam recta 4B ad ires rectas ΒΓ, B4, BE in puncto sectionis B perpendicularis erecta sit. dico, rectas ΒΓ, Β4, BE in eodem plano esse.
——
2 F. αὐτῆς] corr. ex αὐτῇ m. 1 B. 12. ἐν] ἐπί g. αὐτῷ] om. V. ποιεῖ P. 18. ἐν τῷ B. ἐστιν} comp. Fb, ἔστι P. 14. τῶν] bis V, sed corr. 15. Γ' Δ εὐθειῶν Vb. 106. ἐπιπέδων b. 17. εὐθεῖα δύο εὐθείαις] B sv?9 F. δύο — 19. δεῖξαι] καὶ τὰ ἑξῆς B. 17. τεμνούσαις --- 19. ἔσται] καὶ τὰ ἑξῆς F. 19. ἐστιν V b. ὕπερ ἔδει δεῖξαι comp. F. 286, ἐφεστάτω] corr. ex ἀφεστάτω m. rec. P.
Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 2
10
1ὅ
20
25
18 ZTOIXEIQS9N ια΄.
Μὴ γάρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατόν, ἔστωσαν αἱ μὲν BA, BE ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ BI' ἐν μετεω- φοτέρῳ; καὶ ἐκβεβλήσϑω τὸ διὰ τῶν 48, ΒΓ ἐπί- πεδον" κοινὴν δὴ τομὴν ποιήσει ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν. ποιείτω τὴν ΒΖ. ἐν ἑνὶ ἄρα εἰσὶν ἐπιπέδῳ τῷ διηγμένῳ διὰ τῶν 48, ΒΓ αἱ τρεῖς εὐθεῖαι αἱ 4B, BI', ΒΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ 48 ὀρϑή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν B 4, BE, καὶ τῷ διὰ τῶν B4, BE ἄρα ἐπιπέδῳ ὀρϑή ἐστιν ἡ AB. τὸ δὲ διὰ τῶν B, BE ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν ἡ AB ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. στε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιήσει γωνίας ἡ 48. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΒΖ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπι- πέδῳ᾽ ἡ ἄρα ὑπὸ 482 γωνία ὀρϑή ἔστιν. ὑπόκειται 0b καὶ $ ὑπὸ ABD ὀρϑή᾽ ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ 4BZ γω- vía τῇ ὑπὸ ABI. καί εἰσιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ" ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ΒΓ εὐϑεῖα ἐν μετεωρο- τέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ" αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, Β4, BE ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
"Xv ἄρα εὐϑεῖα τρισὶν εὐϑείαις ἁπτομέναις ἀλλή- λων ἐπὶ τῆς ἁφῆς προς ὀρϑὰς ἐπισταϑῇ, αἱ τρεῖς εὐϑεῖαι ἐν ἕνί εἰσιν ἐπιπέδῳ᾽ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
σ΄.
Ἐὰν δύο εὐϑεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς
ὀρθὰς ὦσιν, παράλληλοι ἔσονται al εὐϑεῖαι.
1. Bd]ecorr. m. 1b. 8. ἡ δέ --- ὅ. εὐθεῖαν] mg. m. 1 V, in textu ras. est. 2. μετεώρῳ V. 8. καῶ καί Ov b. 4. δή] postea ins. FP. — 5. καὶ εὐθεῖαν b, et B, corr. m. 2; καί (comp.) ins. m. 1 F. ποιήτω φ. εἰσὶν ἄρα b. 71. ἐστιν P; ἔσται 5,
ELEMENTORUM LIBER XI. 19
ne sint enim, uerum, si fleri potest, B, BE in plano subiacenti sint, BI'autem in eleuatiore, ei pro- ducatur planum per 4B, BI: communem igitur sectio- nem in plano subiacenti reciam efficiet [prop. IIT] efficiat ΒΖ. ilaque tres rectae 4B, ΒΓ, ΒΖ in eodem plano sunt, quod per ΑΒ, BI' ducitur. et quoniam 4B ad utramque B Z1, B E perpendicularis est, etiam ad planum rectarum B Zf, BE perpendicularis est 4B [prop. IV]. planum autem rectarum B1, B E subiacens est; 44B igitur ad pla- num subiacens perpendicularis est. quare etiam ad om- nes rectas eam tangentes et in subiacenti plano po- sitas rectos angulos efficiet 4 B [def. 3]. tangit autem eam ΒΖ in subiacenti plano posita. itaque ( 4BZ rectus est. supposuimus autem, etiam [4 BI' rectum esse. erit igitur ( 482 — ABI. et in eodem plano sunt; quod fieri non potest. itaque recta BI'in plano eleuatiore posita non est; itaque ires rectae BI', ΒΖ, B E in eodem plano sunt.
Ergo si recta ad tres rectas inter se tangentes in puncto tactionis perpendicularis erecta erit, tres illae reciae in eodem plano sunt; quod erat demonstrandum.
VI.
Si duae rectae ad idem planum perpendiculares sunt, rectae parallelae erunt.
corr. m. 1. 8. B4] (ali) B in ras. m. 1 B. 9. ἄρα] prius « in ras. m. 1 P. 10. 4B] Β΄ Α΄ F. 13. αὐτῆι b. — 19. ΒΓ] corr. ex 4B V; AB supra scr. I" m. 1 b. 26. ὦσι P Vb.
9*
b
90 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
Zvo γὰρ εὐϑεῖαι αἱ AB, ΓΖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπι- πέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔστωσαν' λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἢ AB τῇ ΓΖ.
Συμβαλλέτωσαν γὰρ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ B, 4 σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ B4 εὐϑεῖα. καὶ ἤχϑω τῇ Β4 πρὸς ὀρϑὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ 4E, καὶ κείσϑω τῇ 4B ἴση ἡ 4E, καὶ ἐπεξεύχϑω- ὅαν αἱ BE, AE, AA.
Kal ἐπεὶ ἡ 48 ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον
10 ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας [ἄρα] τὰς ἁπτομένας αὐτῆς
15
20
26
εὐθείας καὶ οὔσας iv τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ τῆς 418 ἑκατέρα τῶν B4, ΒΕ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ 484, ABE γωνιῶν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΖΒ,. ΓΖΕ ὀρϑή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν y 48Β τῇ AE, κοινὴ δὲ ἡ BA, δύο δὴ αἱ 4B, B δυσὶ ταῖς Ez, 4B ἴσαι εἰσίν" καὶ γωνίας ὀρϑὰς περιέχουσιν" βάσις ἄρα ἡ 44 βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AB τῇ AE, ἀλλὰ καὶ ἡ 44 τῇ ΒΕ, δύο δὴ αἱ 48, ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΖ, 4 4 ἴσαι εἰσίν" καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ AE: γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ABE γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΖΑ͂ ἐστιν ἴση. ὀρϑὴ δὲ ἡ ὑπὸ ABE: ὀρϑὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ Ez: ἡ Ez ἄρα πρὸς τὴν 4.44 ὀρϑή ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ πρὲς ἑκατέραν τῶν Bl, 4Γ ὀρϑή. ἡ ΕΖ ἄρα τρισὶν εὐθείαις ταῖς Bzl, 44, 4Γ πρὸς ὀρϑὰς 1. αἴ] supra m.rec.P. 4. συμβαλέτωσαν P (συμπιπτέτωσαν Supra scr. m. rec.) et supra scr. À V.. 5. B4] corr. ex B m. 9 B. 6. τῷ] τῷ αὐτῷ P. 9. ἐστίν F. - 10. ἄρα] om. P. — 12. Ante τῶν ras. 2 litt. V, τῆς τῶν b. 18. οὖσαι ΒΕ. 16. τῇ — Bí] mg. m. 1P.
11. ταῖς] miro comp. F, ut lin. 21. εἰσί Vb, comp. supra ser. φ. 18. καί] comp. supra scr.g. περιέχουσι BVb A 4] corr. ex
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 91
Nam duae rectae 48, ΓΖ, ad planum subiacens perpendiculares sint. dico, 4B rectae I'zf paralle- lam esse.
concurrant enim cum plano sub- iacenti in punctis B, 71, οὐ duca-- lur recta. B, et ad rectam B.Z4 perpendicularis in plano subiacenti ducatur ΖΕ, οὐ ponatur
AB -— AE, et ducantur BE, AE, 44.
el quoniam 4B ad planum subiacens perpendicu- laris est, etiam ad omnes recias eam tangentes et in plano subiacenti positas rectos angulos efficiet [def. 3]. uerum uiraque ΒΖ], BE in plano subiacenti positae rectam 4B ianguni; itaque uterque angulus 4B 4, 44 B E rectus est. eadem de causa etiam uterque angu- lus Dl4B, L4 E rectus est. eti quoniam 4B τῷ ΖΕ, οὐ B1 communis est, duo latera 48. B4! duobus E24, 4B aequalia sunt; οὖ aequales angulos compre- hendunt. itaque 421 — BE [I, 4]. et quoniam 4B — E, el 421 — BE, duo latera 4B, BE duobus Ed, 44 aequalia sunt; et basis eorum communis est AE. itaque [. ABE — ΕΖ 4 [1,8]. uerum [, ABE rectus est; quare eliam [ Ez1.4 rectus est. itaque ΕΖ ad 4.4 perpendicularis est. sed etiam ad utram- que B4, ΖΓ perpendicularis est. itaque ΕΖ, ad ires rectas ΒΖ, 444, ΖΓ perpendicularis in puncto tactio-
r A
4B m.1b. 19. ἴση ἐστίν V. 51. εἰσί Vb, comp. F. — 98. ἴση ἐστίν Vb. T](prius) ins. m. 2 F. | 24. «ovy Ez AP. — 26. ἔστι) supra ser. comp. m. 1 F. Sequentia usque ad p. 32, 5: ἐπι- πέδῳ in ras. V. ὀρϑή] corr. ex οϑη m. rec. P.
10
1
20
2
σι
ὅ
ex
99 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
ἐπὶ τῆς ἁφῆς ἐφέστηκεν" αἵ τρεῖς ἄρα εὐϑεῖαι αἴ B4, 44, AT ἐν ἕνί εἰσιν ἐπιπέδῳ. ἐν ᾧ δὲ αἱ AB, 44, ἐν τούτῳ καὶ ἧ AB: πᾶν γὰρ τρίγωνον ἐν ἕνί ἐστιν ἐπιπέδῳ᾽ αἴ ἄρα 48. B, AT' εὐϑεῖαι ἐν évé εἰσιν ἐπιπέδῳ: καί ἐστιν ὀρϑὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ AB A, BAT γωνιῶν" παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ AB τῇ ΓΖ.
"E&v ἄρα δύο εὐϑεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ὦσιν, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ξ΄.
Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ληφϑῇ δὲ ἐφ᾽ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιξευγνυμένη εὐϑεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.
Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἴ AB, ΓΖ, καὶ εἰλήφϑω ἐφ᾽ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα τὰ E, Ζ' λέγω, ὅτι ἡ ἐπὶ τὰ E, Z σημεῖα ἐπιξευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.
Μὴ γάρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατόν, ἔστω ἐν μετεωροτέρῳ ὡς ἡ ΕΗΖ, καὶ διήχϑω διὰ τῆς ΕΗΖ ἐπίπεδον" το- μὴν δὴ ποιήσει ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐϑεῖαν. ποιείτω ὡς τὴν EZ δύο ἄρα εὐϑεῖαι al ΕΗΖ, ΕΖ χωρέον περιέξουσιν" ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τὸ Z ἐπιξευγνυμένη εὐθεῖα ἐν μετεω-
φοτέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ᾽ ἐν τῷ διὰ τῶν AB, ΓΖ ἄρα
2. ἐν ᾧ — 5. ἐπιπέδῳ] om. b. 2. 4B, 44] 44, 4B Pj B4, 44, AT'F. 6, BAT] B in ras. V; TAB P. ἄρα) corr. ex ἃ m. 9 P. 8. edd) om V. 9. ὦσι Vb. ἀλλήλαις αἴ V. 11. ὦσιν Β. 18. αὐτῷ} supra m. 2 B. 17. λέγω — E, Z] mg. m. 1 F. σημεῖα) om. V. 290. ἡ] 9, al? F.
δια] vó διά BF, τό supra scr. V. — 21. ἐπιπέδῳ] mg. V.
-—moT om UT πα - 099
ELEMENTORUM LIBER XT. 23
nis erecia esi; quare ires rectae Bf, 214, 4Γ τὰ eodem plano sunt [prop. V]. in quo autem plano sunt 28. 4144. in eodem est etiam 4B; omnis enim triangulus in eodem plano est [prop. II]. itaque rectae A4 B, B4, ΖΓ in eodem plano sunt. οὐ uterque angulus 484, BAI rectius est. itaque 4B rectae ΓΖ, par- allela est [I, 28].
Ergo si duae rectae ad idem planum perpendicu- lares sunt, rectae parallelae erunt; quod erat demon- strandum.
VII.
Si duae rectae parallelae sunt, et in utraque quae- libet puncta sumuntur, recta puncta coniungens in eodem plano est, in quo parallelae.
Sint duae rectae parallelae AB, I4, ei in utraque quaeli- H bet puncta sumantur E, Z. dico, rectam puncta E, Z coniungen- iem in eodem plano esse, in quo sint rectae parallelae.
ne sii enim, sed, si fieri potest, in eleuatiore sit ut ΕΗΖ, et per ΕΗΖ planum ducatur. itaque in plano subiacenti sectionem efficiet rectam [prop. III]. efficiat EZ. ergo duae rectae EHZ, EZ spatium compre- hendent; quod fieri non potest. itaque reeta E, Z con- iungens in plano eleuatiore non est. ergo recia E, Z coniungens in plano parallelarum 4B, ΓΖ est.
A4 E B
D Z
22. ὡς] supra scr. m. 1 B, om. FVb. ΕΗΖ] HZ V. 28. περιέχουσιν V b. ἀδύνατον) mg. V. 26. ἄρα] supra scr, V.
Q
10
15
20
26
24 EZTOIXEION ια΄.
παραλλήλων ἐστὶν ἐπιπέδῳ ἡ ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τὸ Z ἐπιξευγνυμένη εὐϑεῖα.
Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐϑεῖαι παράλληλοι, ληφϑῇ δὲ ἐφ᾽ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
,
η΄. Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ
ἑτέρα αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρϑὰς fj, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται.
Ἔστωσαν δύο εὐϑεῖαι παράλληλοι αἱ AB, ΓΖΩ, ἡ δὲ ἑτέρα αὐτῶν ἡ AB τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔστω" λέγω, ὅτι καὶ ἡ λοιπὴ ἡ ΓΖ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται.
Συμβαλλέτωσαν γὰρ αἱ 4B, ΓΖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ và B, 4 σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ .Β 4 αἱ AB, ΓΖ, B4 ἄρα ἐν ἕνί εἰσιν ἐπιπέδῳ. ἤχϑω τῇ B.4 πρὸς ὀρϑὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ AE, καὶ κείσϑω τῇ AB ἴση ἡ 4E, xal ἐπεξεύχϑωσαν ot BE, AE, 44. καὶ ἐπεὶ ἡ AB ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ ὑποχείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἅπτο- μένας αὐτῆς εὐϑείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπι- πέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν ἡ Α4Β᾽ ὀρϑὴ ἄρα [ἐστὶν] ἕκα- τέρα τῶν ὑπὸ 484, ABE γωνιῶν. καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς 48, I' 4 εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ B Δ], αἱ ἄρα ὑπὸ 48Β4., Γ4ΩΒ γωνίαι δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν. ὀρϑὴ δὲ ἡ ὑπὸ 484 ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ D4B: ἡ ΓΖ ἄρα πρὸς τὴν Β4 ὀρϑή ἐστιν. καὶ
8. ὦσιν PB. 8. ὦσιν PB. ἡ δέ] ἡ δὲ ἡ V. 9. ἢ] om. V. 10. πρὸς ὀρθὰς ἔσται τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ b. 12. An
ELEMENTORUM LIBER XI. 2b
Ergo si duae rectae parallelae sunt, et in uira- que quaelibet puncta sumuntur, recta puncta con- iungens in eodem plano est, in quo parallelae; quod erat demonstrandum,
VIII.
Si duae rectae parallelae sunt, et alterutra ad pla- num aliquod perpendicularis est, etiam reliqua ad idem planum perpendicularis erit.
Sint duae rectae parallelae 4B, ΓΖ. et alterutra earum A4B ad pla- num subiacens perpendicularis sit. dico, etiam reliquam I'Z ad idem
4 planum perpendicularem fore.
concurrant enim 4B, I'Z cum
plano subiacenti in punctis B, 4,
E el ducatur BJ. itaque 4B, ΓΖ. B2 in eodem plano sunt [prop. VII][. ad B4 in plano subiacenti perpendicularis ducatur 4, E, οὐ po- natur ΖΕ -— 4B, οὐ ducantur BE, AE, 44. et quoniam 44 B ad planum subiacens perpendicularis est, eliam ad omnes rectas eam tangentes et in plano subiacenti positas perpendicularis est 44B [def. 3]. rectus igitur uterque angulus 4B, 4BE. et quoniam in paralllas 4B, I'4 recta incidit B4, anguli 484, I'4B duobus rectis aequales sunt ἢ, 29]. uerum [ 4B. rectus est; quare etiam ἐ I'4B rectus est. quare ΓΖ ad B.4 perpendicularis est.
4 r
ἐπιπέδῳ m. 1 del ἐν P. 18. καὶ ἡ] F, 0 qg. 11. L'd] Δ
corr. ex B m. rec. B. 20. 4E] 4E φ. ἐστιν P. 238. πρὸς
ὀρϑας] ὀρϑή BFV. ἐστίν] (α1}.) om. P. 26. εὐθείας V. 26. γωνέαι) F, γωνία g.
96 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AB τῇ 4Ε, κοινὴ δὲ ἡ B4, δύο δὴ αἱ 4B, Β4 δυσὶ ταῖς ΕΖ, 48 ἴσαι εἰσίν" καὶ γωνία ἡ ὑπὲ 48Β4 γωνίᾳ τῇ ὑπὸ EAB ἴση" ὀρϑὴ γὰρ ἑκατέρα" βάσις ἄρα ἡ 44] βάσει τῇ BE ἴση. 5 καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἣ uiv 4B τῇ AE, ἡ δὲ BE τῇ AA, δύο δὴ al AB, ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΖ, 44 ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρα... καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ AE: γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ABE γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Ezl4 ἐστιν ἴση. ὀρϑὴ δὲ ἡ ὑπὸ ABE: ὀρϑὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ 10 ΕΖ4.4᾽ ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς τὴν 44 ὀρϑή ἐστιν. ἔστι ὃὲ καὶ πρὸς τὴν 4B ὀρϑή᾽ ἡ EA ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν B, 44 ἐπιπέδῳ ὀρϑή ἐστιν. καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν B4 ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιήσει γωνίας ἡ EA. 15 ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν BA ἐπιπέδῳ ἐστὶν ἡ AI, ἔπει- δήπερ ἐν τῷ διὰ τῶν Bz4 ἐπιπέδῳ εἰσὶν αἴ AB, BA, ἐν o d δὲ αἱ AB, BA, ἐν τούτῳ ἐστὶ καὶ ἡ AT ἡ ΕΔ ἄρα τῇ 4Γ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν ὥστε καὶ ἡ ΓΖΔ τῇ 4E πρὸς ὀρϑάς ἔστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΖ τῇ BA 40 πρὸς ὀρθάς. ἡ ΓΖ ἄρα δύο εὐϑείαις τεμνούσαις ἀλ- λήλας ταῖς 44 E, 48 ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ 4 τομῆς πρὺς ὐὀρϑὰς ἐφέστηκεν' ὥστε ἡ ΓΖ καὶ τῷ διὰ τῶν AE, 48 ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. τὸ δὲ διὰ τῶν AE, 248 ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν ἡ ΓΖ ἄρα τῷ 26 ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐϑεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ μέα 2. 4B] BA Ὁ. clot uz cop. F. 4. ἐστιν ἴση BY b. 7. ἑκατέρᾳ] supra scr. F. ra scr. m. 1 V 8. E414] B4 seq. ras. 1 litt. g. done] supra sor. m. 1 F. 9. ὀρθή — ABE] in ras. plurium litt 10. 44] 44A P.
11. 4B] in rae. V. — 12. ἐστι V, comp. Fb. 14. B.414] P; 44, AB B; BA, AB b et in ras. FV. A4EP. 1ῦ.ἕὃ ΒΖ,
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 2d
el quoniam 4B — Z4 E, et Bzf communis est, duo latera 4B, Bz1 duobus ΕΖ, 4B aequalia sunt; et ἰιἰ 484 — EZB (uterque enim rectus est); itaque 44 — BE [I, 4]. et quonam 4B — ZE, et BE — 4, duo latera 4 B, BE duobus EZ, 71.4 aequalia sunt; et basis eorum communis est 44 E; itaque /, 4B E — E44 [I, 8]. uerum [| ABE rectus est; itaque eliam [ E214 recius est; ergo E41 ad 44 perpen- dicularis est. uerum etiam ad 241B perpendicularis est. EZ igitur etiam ad planum rectarum B, 7144 per- pendieularis est [prop. IV]. quare etiam ad omnes recias eam tangentes et in plano rectarum B4, 44 positas rectos angulos efficiet Ef. in plano autem rectiarum B4, 41.4 posita est Z/T', quoniam 4B, B 4 in plano rectarum Bf, 24144 suni [prop. II], in quo autem plano sunt 4B, B, in eodem etiam 2 Γ' po- Sita est. itaque E71 ad Ζ Γ᾿ perpendicularis est; quare eliam ΓΖ ad 4E perpendicularis est. uerum I'4 eliam ad B perpendicularis est. ΓΖ igitur ad duas rectas inter se secantes ΖΕ, 41B in sectione 4) per- pendieularis erecta est; quare I'z/ etiam ad planum reclarum Z/E, 418 perpendicularis est [prop. IV]. uerum planum rectarum ΖΕ, Z1 B subiacens est. ita- que I'Z/ ad planum subiacens perpendicularis est. Ergo si duae rectae parallelae sunt, et alterutra ad planum aliquod perpendicularis est, etiam reliqua
44 BFb, in ras. Υ. 17.4I] D4 b. 18. 4T] in ras. m. 1 PV. 19. τῇ — ΓΔῚ bis P, corr. m. 1. x«t] om. P. vj] καὶ τῇ P. Bd] 4B F. 20. ἀλλήλαις b, corr. m. 1. 21. 4B] in ras. V. 22. ἡ] καὶ ἡ V.
28. 4B] 4E b. 24. ὑποκείμενόν ἐστιν} ἸῺ ras. V. 20.
ὦσιν PB.
cQ
10
15
20
28 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ἧ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
9'.
AL τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὐὖ- σαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι.
Ἔστω γὰρ ἑκατέρα τῶν 48Β. ΓΖ τῇ ΕΖ παράλ- ληλος μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ᾽ λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ 48 τῇ ΓΖ.
Εἰλήφϑω γὰρ ἐπὶ τῆς ΕΖ τυχὸν σημεῖον τὸ H, καὶ ἀπ᾿’ αὐτοῦ τῇ EZ ἐν μὲν τῷ διὰ τῶν EZ, AB ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω ἡ ΗΘ, ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν ΖΕ, ΓΖ τῇ ΕΖ πάλιν πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω ἡ ΗΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ πρὸς ἑκατέραν τῶν HO, HK ὀρϑή ἐστιν. ἡ ΕΖ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΗΘ, ΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. καί ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ AB παράλληλος" καὶ ἡ 4B ἄρα τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρ- ϑάς ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῷ διὰ τῶν OHK ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν᾽ ἑκατέρα ἄρα τῶν AB, I'4 τῷ διὰ τῶν ΘΗ Κ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ὦσιν, παράλληλοί εἰσιν αἴ εὐθεῖαι" παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ 48 vij Lf: ὕπερ ἔδει δεῖξαι.
Ld ἐστιν , p scr. j. ἃ. ἔσται] ἐστιν BF V.
6. εἰσέν 7. γάρ] y corr. ex x m. rec. B. παράλληλος τῇ EZ V. παράλληλοι Β. 9. ΦΤΎ. 10. Post τυχόν ras. 2 litt. V. 12. 7] supra m. 1 P. 48. ΖΕ] in ras. V. | HK) NK F,H post ins. V. 14. ἡ] af F. 15. ΗΘ] 6e
b supra scr. m. 1; litt. H postea ins. m. 1 BF. 16. ἐστι» - comp. Fb, ἐστι PY. καί — 18. ἐστιν} mg. m. 2 B.
17. Qo] om. P. 19. ἑκατέρα — 31. ἐστιν} mg. m. 1 in ras.
ELEMENTORUM LIBER XI. 20
ad idem planum perpendicularis erit; quod erat de- monstrandum.
ΙΧ.
Quae eidem rectae parallelae sunt, etiam 81 1ἢ eodem plano non sunt, etiam inter se parallelae sunt.
B Θ A Nam uiraque 4B, ΓΖ reciae EZ parallela sit, non positae in eodem plano. dico, AB rectae ΓΖ, parallelam esse.
sumatur enim in ΕΖ quoduis punctum H, et ab eo ad rectam EZ perpendicularis ducatur in plano EZ, A4 B rectarum HO, in plano autem Z E, I'z1 rectarum ad EZ rursus perpendicularis ducatur H K. et quoniam EZ ad utramque HO, HK perpendicularis est, EZ eliam ad planum rectarum ΗΘ, H K perpendicularis est [prop. IV]. et EZ rectae 4B parallela est. ita- que etiam 4B ad planum rectarum ΘΗ, ΗΚ perpen- dicularis est [prop. VIII]. eadem de causa etiam ΓΖ ad planum rectarum 6 H, HK perpendicularis est; quare utraque 4B, ΓΖ ad planum rectarum 0 H, HK perpendicularis est. sin duae rectae ad idem planum perpendiculares sunt, rectae parallelae sunt [prop. VI]. ergo 4B rectae ΓΖ parallela est; quod erat demon- strandum.
P. 19. 4ox] supra F. 20. τῷ] corr. ex τῶν P. H6, HK m. 2 ΒΥ. 22. ὦσι Vb. slow] ἔσονται V. 28. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) om. V.
ex
10
15
20
25
30 ZTOIXEION ια΄.
( [4
ε΄.
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέξουσιν.
Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ 4B, ΒΓ ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας τὰς 4E, ΕΖ ἁπτομένας ἀλλήλων ἔστωσαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ABI γωνία τῇ ὑπὸ 4ΕΖ.
᾿Δπειλήφϑωσαν γὰρ αἱ B.4, ΒΓ, Ε4, EZ ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 44, ΓΖ, ΒΕ, 4, 4Z. καὶ ἐπεὶ ἡ B4 τῇ EA ἴση ἐστὶ xol παράλλη- Aog, καὶ ἡ 44 ἄρα τῇ BE ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παρ- «AAgAog" ἑκατέρα ἄρα τῶν 44. ΓΖ τῇ BE ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος. αἷ δὲ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι" παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ 44 τῇ ΓΖ καὶ ἴση. καὶ ἐπιξευγνύουσιν αὐτὰς αἵ 4Γ, AZ: καὶ ἢ 4Γ ἄρα τῇ AZ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος. καὶ ἐπεὶ δύο aí 4B, ΒΓ δυσὶ ταῖς 4Ε, EZ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ 4Γ βάσει τῇ 42 ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ 48Γ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ AEZ ἐστιν ἴση.
"Eàv ἄρα δύο εὐϑεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέξουσιν ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
^ 8. ὦσιν PB. 4. οὖσαι, ἴσας b. περιέξουσι Vb. b. αἴ AB, ΒΤΓῚ om. BFV. BI'] postea ins. n. 1P. 6. αὖ AB, BI' παρά BFV. "T. αὐτῷ] supra scr. F. 9. BA] in ras. m. 1 P.
EZ]litb.Z e corr. V. 11. ἐστίν B. 12. ἐστιν ἴση BFb.
14. ἑκατέρα — 16. παράλληλος] bis Ε΄, sed corr. m. 1; mg. V. 16. καὶ μή — ἐπιπέδῳ] om. V. 171. παράλληλοι] supra
ΒΟΥ, m. 1 ΒΞ ἄρα] supra scr. m. 2 B. 18. «o/| (primum) supra m. 1 V. 19. ἐστίν PB. 20. εἰσί Vb, comp. F.
ELEMENTORUM LIBER XI. 81
Χ,
Si duae reciae inter se tangentes duabus rectis inter se tangentibus non positis in eodem plano par- allelae sunt, angulos aequales comprehendent.
Nam duae rectae 4B, ΒΓ inter se tangentes duabus rectis inter se tangentibus 4E, EZ non positis in eodem plano parallelae sint. dico, esse /. ABI — AEZ.
ponantur enim B. — BI'-—E4-EZ, et ducantur 44, ΓΖ, BE, AT, 42Z. et quoniam B.4 reciae Ez/ aequalis et parallela est, etiam 4471 rectae BE aequalis et parallela est [I, 32]. eadem de causa etiam ΓΖ rectae B E aequalis et parallela est. itaque utraque 4471, ΓΖ rectae B E aequalis et parallela est. quae autem eidem rectae parallelae sunt, etiam si in eodem plano non sunt, etiam inter se parallelae sunt [prop. IX]. itaque 4.4 rectae ΓΖ parallela est et aequalis. et eas iungunt 4Γ,, 4/Z; quare etiam ΑΓ rectae 42 aequalis et parallela est [I, 33]. et quoniam duo latera 4B, BI' duobus 4E, EZ aequales sunt, et 4Γ — 4Z, erit ἰ ABI' — AEZ [I, 8].
Ergo si duae rectae inter se tangentes duabus rectis inter se langentibus non positis in eodem plano parallelae sunt, angulos aequales comprehendent; quod erat demonstrandum.
22. ὑπό] om. V. 23. ἁπτόμεναι — 90. δεῖξαι] καὶ τὰ ἑξῆς V. 84, ὦσι (ὦσιν F) παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων BFb. ὦσιν P
10
15
20
25
39 ZTOIXEISN ια΄.
,
Lt.
"4zxó τοῦ δοϑέντος σημείου μετεώρου ἐπὶ τὸ δοϑὲν ἐπίπεδον κάϑετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
Ἔστω τὸ μὲν δοϑὲν σημεῖον μετέωρον τὸ 4, τὸ δὲ δοϑὲν ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον᾽ δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ ΑΙ σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάϑετου εὐ- ϑεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
Διήχϑω γάρ τις ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐϑεῖα, ὡς ἔτυχεν, ἡ BI, καὶ ἤχϑω ἀπὸ τοῦ 4 σημείου ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ 44. εἰ μὲν οὖν ἡ 44 κάϑετός ἐστι καὶ ἐπὶ τὸ rd ἐπέπεδον, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχϑέν. εἰ δὲ ov, ἤχϑω ἀπὸ τοῦ 4 σημείου τῇ ΒΓ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς 7) 4Ε, καὶ ἤχϑω ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὴν AE κάϑετος ἡ AZ, καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχϑω ἡ ΗΘ.
Καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΓ ἑκατέρᾳ τῶν 244, 4E πρὸς ὀρ- ϑάς ἐστιν, ἡ ΒΓ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΕΖ Α ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. καί ἐστιν αὐτῇ παράλληλος ἡ ΗΘ' ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ μία αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς T, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται" καὶ ἡ ΗΘ ἄρα τῷ διὰ τῶν Ez, 44 ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐϑείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΕΖ, 44 ἐπιπέδῳ ὀρϑή ἐστιν ἡ ΗΘ. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ 42 οὖσα ἐν τῷ διὰ
2. μετέωρον qo (non EF), μετεωροτέρου b. 8. δοϑέν] P, ὑποκείμενον BF Vb, P mg. m. 1. 9. γάρ] om. V. εὐθεῖα] postea ins. F. 10. ΓΒ F. 19. ἐστε καί] ἐστιν e corr. m. 2 F. émí]om.b. γεγονός] eras. V. 18. τό] supra scr. F. δέ] supra acr. V. 17. ἐπί φ.
ELEMENTORUM LIBER XI. . 99
XI.
A dato puncto eleuato ad datum planum perpen- dieularem lineam rectam ducere.
Nam datum punctum eleuatum sit 4, οὗ datum planum sit, quod subiacet. oportet igitur à puncto 4 ad planum subiacens rectam lineam perpendicularem ducere.
ducatur enim in plano subia- centi recta quaelibet BI, et ab 44 puncto ad BI' perpendicularis ducatur 421 [I, 12]. iam si 44 eliam ad planum subiacens per- pendicularis est, faetum est, quod propositum erat. sin minus, à 4΄ puncto in plano subiacenti ad rectam BI' perpendieularis dueatur ΖΕ [I, 11], et ab 4 ad 4 E perpendicularis ducatur 4Z [I, 12], et per Z punetum rectae BI' parallela ducatur ΗΘ [1], 31].
el quoniam BI'ad utramque 4.4, 4 Ε perpen- dicularis est, etiam ad planum rectarum Ez, 244 perpendicularis est BI' [prop. IV]. et ei parallela est HO. sin duae rectae parallelae sunt, et alterutra ad planum aliquod perpendicularis est, etiam reliqua ad idem planum perpendicularis est [ptop. VIII]; itaque eliam HO ad planum rectarumn Ez, 7144 perpendicu- laris esi. quare eliam ad omnes rectas eam tangentes οὐ in plano reciarum Ez, 71.4 positas perpendicu- laris est HO [def. 3]. uerum A4Z eam tangit in plano
21—924 nonnulla in F euan. 23. ἐστιν] comp. Fb, ἐστι P, ἔσται V. 26. 4.4] 4, ut uidetur, e corr. F. 26. ΘΗ B. ἐν τῷ] sustulit reparatio in F
Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 8
10
15
20
25
24. ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
τῶν ΕΖ, 44 ἐπιπέδῳ ἡ ΗΘ ἄρα ὀρϑή ἐστι πρὸς τὴν Z.: ὥστε καὶ ἡ Z4 ὀρϑή ἐστι πρὸς τὴν OH. ἔστι δὲ ἡ AZ καὶ πρὸς τὴν 4E ὀρϑή᾽ ἡ AZ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΗΘ, 4E ὀρϑή ἐστιν. ἐὰν δὲ εὐθεῖα δυσὶν εὐϑείαις τεμνούσαις ἀλλήλας ἐπὶ τῆς vo- μῆς πρὸς ὀρϑὰς ἐπισταϑῇ, καὶ τῷ δι᾿ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται ἡ Ζ.4 ἄρα τῷ διὰ τῶν Ε4, ΗΘ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. τὸ δὲ διὰ τῶν ΕΖ, HO ἐπίπεδόν ἐστι τὸ ὑποκείμενον᾽ ἡ AZ ἄρα τῷ ὑποκει- μένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν.
᾿4πὸ τοῦ ἄρα δοϑέντος σημείου μετεώρου τοῦ Α͂ ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάϑετος εὐϑεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ AZ: ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
ιβ.
Τῷ δοθέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ δοϑέντος δημείου πρὸς ὀρϑὰς εὐϑεῖαν γραμ- υὴν ἀναστῆσαι. |
Ἔστω τὸ μὲν δοϑὲν ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον, τὲ δὲ πρὸς αὐτῷ σημεῖον τὸ 4 δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ 4 ση-. μείου τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς εὐϑεῖαν γραμμὴν ἀναστῆσαι.
Νενοήσθϑω τι σημεῖον μετέωρον τὸ B, καὶ ἀπὸ τοῦ B ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάϑετος ἤχϑω 7 ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ 44 σημείου τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχϑω ἡ 44.
et b, sed corr. m. 1. 8. ἔστι — καί] sustulit reparatio in F. 7] (prius) καὶ ἡ V. τήν] m. 2 F. 4442] (6}}.) 6 corr. m. 2 F, seq. ras. 1 litt. ἄρα καί F. 5. εὐθείας] εὐθεῖαι φ. τεμνούσαις] Pb, F mg.; ἁπτομέναις BF V, b mg. ἀλλήλας] -ας in ras m, 1 b, ἀλλήλων BF V. 6. δι᾽] om. g. 8. ἐστιν] comp.
1. ἐστιν PV. 2. ἐστιν φ. p OK 9, HO B, ZHP,
ELEMENTORUM LIBER XI. 35
rectarum Ez, 71.4 posita. itaque ΗΘ ad Z4 per- pendieularis est; quare etiam Z.4 ad H9 perpendicu- laris esl. uerum AZ etiam ad Z/E perpendicularis est. 42 igilur ad utramque ΗΘ, 7 E perpendicularis est. sin recta ad duas rectas inter se secantes in seciione perpendicularis erigitur, etiam ad planum earum perpendicularis erit [prop. IV]. itaque Z.4 ad planum reciarum Εἰ 2. H6 perpendicularis est. uerum planum rectarum Ezf, H6 subiacens est. ilaque A4Z ad planum subiacens perpendicularis est.
Ergo a dato puncto eleuato .4 ad planum sub- jacens perpendicularis ducta est recta linea 42; quod oportebat fieri.
XII. Ád datum planum a puncto in eo dato rectam A Ir lineam perpendicularem erigere.
Sit datum planum, quod subia cet, οὖ punctum in eo datum sit 4. oportet igitur, ab 44 puncto ad pla- num subiacens perpendicularem rec- iam lineam erigere. . supponatur eleuatum aliquod punctum B, et a B ad planum subiacens perpendicularis ducatur BI'[prop. XI], et per 4 punctum rectae BI' parallela ducatur 44.
Fb, iow PBV. 9. ἐπίπεδόν ἐστι τὸ ὑποκείμενον) ἐπιπέδων πρὸς ὀρϑάς ἐστινῳ 2Ζ4Ὁ. 10. ἔσται V. 11. ἄρα] om. F.
δοθέντος ἄρα. 18. ἡ AZ]om.F b; add. m. 2 B. ποιῆσαι] δεῖ- ξαι P. — 1b. ἑαυτῷ P, sed corr. 16. δοϑέντι σημεῖον q (non F) Post γραμμήν del ἀγαγεῖν m. 1 b. 19. αὐτό V, et P, sed corr. Post prius 4 ras. 1 litt. F. — 92. μετέωρόν τι ση- μεῖον P. 28. κάθετος) comp. in ras. F. 24. τῇ BI') om. b.
g*
ῦ
10
15
20
25
36 ZTOIXEIQN ια΄.
Ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι παράλληλοί εἰσιν αἱ 441. ΓΒ, ἡ δὲ μία αὐτῶν ἡ ΒΓ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν, καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ 44 τῷ ὑπο- κειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν.
Τῷ ἄρα δοϑέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ dq- μείου τοῦ 4 πρὸς ὀρϑὰς ἀνέσταται ἡ 41: ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. '
ιγ΄.
"zó τοῦ αὐτοῦ σημείου τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρϑὰς οὐκ ἀναστήσονται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.
Εἰ γὰρ δυνατόν, ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Α τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ δύο εὐϑεῖαι αἱ 4B, 4Γ πρὸς ὀρϑὰς ἀνεστάτωσαν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, καὶ διήχϑω τὸ διὰ τῶν ΒΑ, 4Γ ἐπίπεδον" τομὴν δὴ ποιήσει διὰ τοῦ 4 ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν. ποιείτω τὴν 44Ε' αἱ ἄρα AB, AT, 4AE εὐϑεῖαι ἐν ἕνί εἰσιν ἐπιπέδῳ καὶ ἐπεὶ ἡ D'4 τῷ ὑποκειμένῳ ἐπι- πέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιήσει γωνίας. ἄπτεται δὲ αὐτῆς ἡ 44AE οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ἄρα ὑπὸ ΓΔΕ γωνία ὀρϑή ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ BAE ὀρϑή ἐστιν ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ L'AE τῇ ὑπὸ BAE. καί εἰσιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
Οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ
1. εἰσιν αἴ] om. g (non F). 3. ἐστι ΕΥ̓͂, comp. b. 4: ἐστι BV, comp. Fb. — 6. ἀπό — 1. ποιῆσαι] καὶ τὰ ἑξῆς V. b. αὐτό b. 6Ὑ. τοῦ — ἀνέσταται] euan. . 7. ποιῆσαι] δεῖξαι P. 9. ἀπό --- ἐπιπέδῳ] PBFV, b mg. m. 1 (yo); in textu b: τῷ δοθέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ σημείου, et idem in mg. habuit F, sed uestigia sola restant. 10. d»a-
ELEMENTORUM LIBER XI. 91
iam quoniam duae rectae parallelae sunt 44, ΓΒ. ei altera earum BI' ad planum subiacens per- pendieularis est, etiam reliqua 4271 ad planum sub- iacens perpendicularis est [prop. VIII].
Ergo ad datum planum a puncto in eo dato 4 perpendicularis erecta est 427; quod oportebat fieri.
XIII.
Àb eodem puncto ad idem planum duae rectae perpendiculares ad easdem partes erigi non possunt.
Nam si fieri potest, ab eodem puncto 4 ad planum subiacens duae rectae 4B, ΑΓ perpendiculares eri- gantur ad easdem partes, et ducatur per B.4, AT planum. sectionem igitur in plano subiacenti rectam efficiet per 44 punctum [prop. III]. efficiat Z/.4 E. ita- que 4B, AI, 4. reciae in eodem plano positae
B r sunt. et quoniam I'4 ad planum | subiacens perpendicularis est, etiam 4 ad omnes rectas eam tangentes et in
M }} plano subiacenti positas rectos angu-
/ los efficiet [def. 3]. tangit autem
E eam Z4E in plano subiacenti po- Sita. itaque / I'/4 E rectus est. eadem de causa etiam L B.AE xecius est. quare I4 E — B.4 E; et in eodem plano positi sunt; quod fieri non potest.
Ergo ab eodem puncto ad idem planum perpen- σταϑήσονται b. 18. oí] ins. m. 1 F. 15. B4] B e corr. V. 16. εὐθεῖαν) om. V. ποιείτω] -ro supra add. m. 2 B. 17. Supra τήν add. εὖθ. V. — A4AE] corr. ex 44 m. 92 V. Z4A4E]corr.ex ZE m. 1b. 19. ἐστε BV, comp. Fb. 28. DA E] seq. ras. !/ lin. V. ἐστι PV, comp. Fb. 26. ἑνί] P, τῷ ἐν BFV;
τῷ αὐτῷ b, mg. yg. ἐν ἑνὶ imín.; αὐτῷ mg. F., in quo τῷ in ras. est. 26. τῶν αὐτῶν gy (non F).
38 ZTOIXEISN ια΄.
δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρϑὰς ἀνασταϑήσονται ἐπὶ và αὐτὰ μέρη" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ιδ΄. Πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρϑή ἐστιν,
ὅ παράλληλα ἔσται τὰ ἐπίπεδα.
Εὐϑεῖα γάρ τις ἡ AB πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΖ, ΕΖ ἐπιπέδων πρὸς ὀρϑὰς ἔστω" λέγω, ὅτι παράλληλά ἔστι τὰ ἐπίπεδα.
Εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται. συμ-
10 πιπτέτωδαν᾽ ποιήσουσι δὴ κοινὴν τομὴν εὐϑεῖαν.
ποιείτωσαν τὴν HO, καὶ εἰλήφϑω ἐπὶ τῆς HO τυ- χὸν σημεῖον τὸ K, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν α AK, ΒΚ. καὶ ἐπεὶ ἣ AB ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ ΕΖ ἐπίπεδον, καὶ πρὸς τὴν ΒΚ ἄρα εὐϑεῖαν οὖσαν ἐν τῷ ΕΖ ἐκβλη-
15 ϑέντι ἐπιπέδῳ ὀρϑή ἐστιν ἡ AB: ἡ ἄρα ὑπὸ ABK
20
γωνία ὀρϑή ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ BAK ὀρϑή ἐστιν. τριγώνου δὴ τοῦ ABK αἴ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ABK, ΒΑΚ δυσὶν ὀρϑαῖς εἰσιν ἴσαι" ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὰ ΓΖ, ΕΖ ἐπίπεδα ἐκβαλ- λόμενα συμπεσοῦνται" παράλληλα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΖΔ. ΕΖ ἐπίπεδα.
Πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἄρα ἡ αὐτὴ. εὐθεῖα ὀρϑή ἐστιν, παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
1. ἀναστήσονται V. 4. ἐστι PBV, comp. Fb. ὅ. Fora] P, ἐστι BFVb. ἐπίπεδα] αὐτὰ μέρη g. 6. D] in ras. V.
1. EZ] Z E b. 12. BK] corr. ex KB m. 2 V; KBB; K" Β΄ Ὁ. 18. καί (alt.) supra scr. comp. m. 1 b. 16. ἐστι BV, comp. Fb; item lin. 17. 17. ABK] corr. ex 4B F. αἴ] om. V. 18. εἰσιν} supra m. 1 P. ἴσαι εἰσίν V. | 20. ἐστῇ comp. F.; εἰσέν in ras. m. 1 P. 22. Δ] om. 9 (non F) ἐστι B, et corr. in ἐστιν V, comp. Fb. — 923. £zt- πεδα] v in ras. m. 1 P. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) om. V.
ELEMENTORUM LIBER XI. 39
diculares duae rectae ad easdem partes erigi non pos- . sunt; quod erat demonstrandum.
XIV.
Ad quae plana eadem recta perpendicularis est, ea parallela erunt. Recta enim 4B ad utrumque planum ΓΖ, EZ per- pendieularis sit. dico, plana parallela esse. nam si minus, producta coneurrent. concurrant; communem igitur sectionem rectam facient [prop. III]. faciant HO, el in HO punctum quodlibet sumatur Καὶ, eb ducantur 4K, BK. et quoniam 4B perpendicu- laris est ad. planum EZ, eliam ad rectam BK in n AH;plano EZ producto [5 4 ———— positam perpendicu- 2 K laris est 48. ergo | Ζ L 4ΒΙΚ rectus est / g-7 E [def. 3]. eadem de E causa eliam ( B.4K recius est. trianguli igitur 4BK duo anguli 4BK -- B.4 K duobus rectis aequales sunt; quod fieri non potest [I, 17]. itaque plana ΓΖ, EZ non concurrent producta. ergo plana ΓΖ. EZ parallela sunt [def. 8]. Ergo ad quae plana eadem recta perpendicularis est, ea parallela sunt; quod erat demonstrandum.
σι
10
15
20
26
40 ZTOIXEIQ9N ια΄.
ιε΄.
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, παράλληλά ἐστι τα δι᾽ αὐτῶν ἐπίπεδα.
Zio γὰρ εὐϑεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων a( AB, ΒΓ παρὰ δύο. εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς 4Ε, ΕΖ ἔστωσαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι" λέγω, ὅτι ἐκ- βαλλόμενα τὰ διὰ τῶν 48, BI, 4Ε. ΕΖ ἐπίπεδα οὐ συμπεσεῖται ἀλλήλοις.
Ἤχϑω γὰρ ἀπὸ τοῦ B σημείου ἐπὶ τὸ διὰ τῶν 4E, ΕΖ ἐπίπεδον κάϑετος ἡ BH καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ μὲν Ε4 παράλληλος ἤχϑω ἡ HO, τῇ δὲ ΕΖ ἡ HK. καὶ ἐπεὶ ἡ BH ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ διὰ τῶν 4Ε, ΕΖ ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν 4E, ΕΖ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκατέρα τῶν ΗΘ, ΗΚ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν AE, ΕΖ ἐπιπέδῳ" ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, BHK γω- νιῶν. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΑ͂ τῇ HO, al ἄρα ὑπὸ ΗΒ4, ΒΗΘ γωνίαι δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ BHO: ὀρϑὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΗΒ 4’ ἡ ΗΒ ἄρα τῇ B4 πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ $ HB καὶ τῇ ΒΓ ἐστι προς ὀρθάς. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΗΒ δυσὶν εὐϑείαις ταῖς ΒΑ͂, ΒΓ τεμνού-
8. Ante ὦσι τα8. B litt, V; ὦσιν ΒΞ 4. ἐστιν P. 6. Β ΓῚ corr.
ex l'B V; ΓΒΒ. 10. συμ- inras. V. συμπεσοῦνται b, corr. m.1. 11. Β]7 6 cor.m. 1b. 18. τοῦ H] vov H σημείου b,
σημείου add. m. 2 F. 16. ἐστιν PV, comp. F. 16. αὐτῆ]
om. p. 17. διὰ τῶν] om. P. 19. τῶν ΗΘ — 30. ἑκατέρα mg. m. 1 V. 20. ἐστώ}] om. V. | BHO] Θ in ras. V.
ELEMENTORUM LIBER XI. 41 XV.
Si duae rectae inter se tangentes duabus rectis inter se tangentibus parallelae sunt non in eodem plano positae, plana earum inter se parallela sunt.
Nam duae rectae inter se tangentes 4B, BI' duabus reclis inter se tangentibus 4, EZ parallelae sint non in eodem plano positae. dico, plana rectarum 48. ΒΓ et 4 E, EZ producta inter se non concurrere.
ducatur enim & B puncto ad planum rectarum 4 E, EZ perpendicularis BH [prop. XI] et cum plano in H puncto concurrat, et per H rectae E71 parallela -ducatur H6, rectae autem EZ parallela H K. et quoniam BH ad planum rectarum ΖΕ, EZ perpendicularis est, etiam ad omnes rectas eam tangentes et in plano rectarum ΖΕ. EZ po- sitas rectos angulos efficiet (def. 3]. uerum utraque HO, H K eam langit in plano rectarum ΖΕ, EZ posita. itaque uterque angu- lus BHO, BHK rectus est. et quoniam B 4 rectae H9 parallela est [prop. IX], anguli ΗΒ. - BHO duobus rectis aequales sunt [I, 29]. uerum /| BHO rectus est; itaque eliam ( HB.4 rectus. HB igitur ad B A4 perpendicularis est. eadem de causa HB etiam ad BI' perpendicularis est. iam quoniam recta HB ad duas rectas inter se secantes B4, BI perpendicularis
22. HB] H ins. V. 28. ἡ] (&1t.) supra ser δ Ἢ 925. H B] in ras. V, BH Bb. καί in ras. V. HB] P, BH BF Vb. εὐθείαις] ὀρθαῖς B, supra scr. ed elis m. 3.
σι
10
1ὅ
20
42 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
σαις ἀλλήλας πρὸς ὀρϑὰς ἐφέστηκεν, ἡ HB ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν B4, ΒΓ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. [διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΒΗ καὶ τῷ διὰ τῶν Η͂Θ, ΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. τὸ δὲ διὰ τῶν HO, HK ἐπίπεδόν ἐστι τὸ διὰ τῶν 4Ε, EZ: ἡ BH ἄρα τῷ διὰ τῶν 4Ε, ΕΖ ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρϑάς. ἐδείχϑη δὲ ἡ ΗΒ καὶ τῷ διὰ τῶν 48, ΒΓ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς]. πρὸς ἃ δὲ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρϑή ἐστιν, παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα" παράλληλον ἄρα ἐστὶ τὸ διὰ τῶν 48, ΒΓ ἐπίπεδον τῷ διὰ τῶν AE, EZ.
᾽Εὰν ἄρα δύο εὐϑεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπι- πέδῳ, παράλληλά ἔστι τὰ δι᾽ αὐτῶν ἐπίπεδα᾽ ὕπερ ἔδει δεῖξαι.
,
5.
Ἐὰν δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνηται, αἴ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλ- ληλοί εὐδσιν.
Zio γὰρ ἐπίπεδα παράλληλα τὰ 48, Γ4 ὑπὸ ἐπι- πέδου τοῦ ΕΖΗΘ τεμνέσϑω, κοιναὶ δὲ αὐτῶν τομαὶ ἔστωσαν αἱ EZ, HO" λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ.
Εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμεναι αἱ EZ, HO ἥτοι ἐπὶ
9. ἐστι ΒΥ͂φ, comp. b. 8. διὰ τά --- 8. ὀρθας] mg. m. 2 B, punctis del. m. 2 V. 4. ἐστι BV, comp. Fb. ὅ. pm P. PostEZ del ἐπέ m. 1P. 1. BP] ΑΓ BV. — Ad lin. 8 —8 mg. b m. 1: yo. ἔστι δὲ καὶ τῷ διὰ τῶν 4E, EZ ἐπιπέδῳ ὀρϑή᾽ ἡ BH ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν διὰ τῶν ABI, 4 EZ ἐπι- πέδων ὀρθή ἐστι; idem in textu BV (τῷ corr. ex vo, I'in ras. V; ἐστιν B), mg. m. 1 F. 9. ἐστι BV, comp. Fb. ᾿ 12. ὦσιν B. ἐπιπέδῳ οὖσαι B. 18. ἐστι rd] τά seq. lac. φ. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) om. V. 17. παράλληλοι) ἔστωσαν qp. 18. εἰσι
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 43
erecta est, HB etiam ad planum rectarum B 4, ΒΓ perpendicularis est [prop. IV].") ad quae autem plana eadem recta perpendicularis est, ea parallela sunt [prop. XIV]. itaque planum rectarum 4B, BI' paral- lelum est plano rectiarum ΖΕ, EZ.
Ergo 81 duae rectae inter se tangentes duabus rectis inter se tangentibus parallelae sunt non in eodem plano positae, plana earum parallela sunt; quod erat demonstrandum.
XVI.
Si duo plana parallela plano aliquo secantur, com- munes eorum sectiones parallelae sunt.
Nam duoplana parallela 4B, ΓΖ plano ΕΖΗΘ se- centur, commu- nes autem eorum sectiones sint EZ, ΗΘ. dico, EZ rectae ΗΘ paral- lelam esse. nam si minus, EZ, HO productae concurrent aut
I
1) Uerba διὰ τά lin. 8 — ρϑάς lin. 8 ab Euclide pro- fecta esse nequeunt, quippe quae per ambages demonstrent, BH ad planum rectarum 4E, EZ perpendicularem esse, id quod e praeparatione patet (p. 40, 11), ad quam Euclides lacite respicit contra morem suum. inde factum est, ut uerba illa interpolarentur et id quidem iam ante Theonem. scriptura codicis B per se bona sine dubio e coniectura satis recenti oria est.
Vb, comp. F. 19. l4", 48’ F. 20. τετμήσθω b, corr. m. 1. 28. αἴ] συμπεσοῦνται αἴ V.
Qx
10
15
20
25
44 ZTOIXEION ια΄.
τὰ Z, O μέρη ἢ ἐπὶ và E, H συμπεσοῦνται. éxfe- βλήσϑωσαν ὡς ἐπὶ τὰ Z, Θ μέρη xal συμπιπτέτωσαν πρότερον κατὰ τὸ K. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖΚ ἐν τῷ AB ἐστιν ἐπιπέδῳ, καὶ πάντα ἄρα τὰ ἐπὶ τῆς EZK ση- μεῖα ἐν τῷ AB ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἕν δὲ τῶν ἐπὶ τῆς EZK εὐϑείας σημείων ἐστὶ τὸ Κ' τὸ Καὶ ἄρα ἐν τῷ AB ἐστιν ἐπιπέδῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ K καὶ ἐν τῷ ΓΖ ἐστιν ἐπιπέδῳ" τὰ 48, ΓΖ ἄρα ἐπίπεδα ἐκ- βαλλόμενα συμπεσοῦνται. οὐ συμπίπτουσι ὃὲ διὰ τὸ παράλληλα ὑποκεῖσθαι" οὐκ ἄρα αἱ ΕΖ, ΗΘ εὐϑεῖαι ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ χὰ Z, Θ μέρη συμπεσοῦνται. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι α ΕΖ, ΗΘ εὐϑεῖαι οὐδὲ ἐπὶ τὰ E, Η μέρη ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται. αἵ δὲ ἐπὶ μηὸδ- ἕτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι παράλληλοί εἰσιν. παρ- ἄλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ EZ τῇ ΗΘ.
Ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνηται, oí κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοι εἰσιν ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
.
Ἐὰν δύο εὐϑεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπε- δων τέμνωνται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμη- ϑήσονται.
Zo γὰρ εὐθεῖαι αἱ 48, ΓΖ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν HO, K 4, MN τεμνέσϑωσαν κατὰ τὰ 4, E, B, Γ, Ζ, 4 σημεῖα" λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ AE εὐθεῖα πρὸς τὴν ἘΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν Z4.
1. τα] (alt.) supra ser. m. 2 B. συμπεσοῦνται) om. V. ἐκβεβλήσθω in ras. 2. ὡς] P, F m. 1; πρότερον ὡς BV b, m. 9. 8. πρότερο» om. BFV. Post καί spatium 6 litt. τες, φ. τῷ 48] éví b, mg. yo. ἐν τῷ 4B ἐστιν. 4. ἐπιπέδω
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ, 45
ad Z, Θ partes aut ad E, H. producantur ad Z, 9 partes et prius concurrant in K. et quoniam EZK in plano 4B posita est, eliam omnia rectae EZK puncta in plano 4B posita sunt [prop. I]. ex punctis autem rectae EZK unum est K. itaque K in plano A B positum est. eadem de causa K etiam in plano I'4 positum est. quare plana 48, ΓΖ producta con- current. uerum non concurrunt, quia parallela esse supponuntur. itaque rectae EZ, ΗΘ productae ad Z, O partes non concurrent. iam similiter demon- strabimus, rectas EZ, HO ne ad E, H quidem partes productas concurrere. quae autem ad neutras partes concurrunt, parallelae sunt. itaque EZ rectae HO parallela est.
Ergo 81 duo plana parallela plano aliquo secantur, communes eorum secliones parallelae sunt; quod erat demonstrandum.
XVII.
Si duae rectae planis parallelis secantur, secundum eandem rationem secabuntur.
Nam duae rectae 4B, I'41 planis parallelis H6, ΚΑ, MN in punctis 4, E, B et I', Z, 44 secentur. dico, esse 4E: EB — ΓΖ: Ζ4Ζ.
ἐστίν F. καί — ὅ. ἐπιπέδῳ] mg. F (euan.). 5. ἐπιπέδῳ ἐστίν BV, F?; ἐπιπέδῳ εἰσίν b. τῶν] τῷ B, et V, sed corr. m. rec. 6. σημείῳ By, et V (corr. m. rec); σημεῖον b 12. af] καὶ αὖ BV. οὐδ᾽ P. 18. μέρη] supra scr. m. 1 F. ἐκβαλλόμεναι οὐ b. ἐπί] ἐπὶ τάνῳ. 14. τα] om. BV. εἰσι Vb, comp. F. 116. ἡ] post ins. V. τῇ] om. b. 16. παράλληλα — 18. δεῖξαι]: co V. 11. τέτμηται B.— 21. τέ- ὠνονται P, corr. m. 1. 84. τεμνέτωσαν b. 25. 4] insert. postea V. B]in ras V. 4,ZB. 246. 247 ὁ corr. V, in ras. m. 1 P; ZZ B.
10
15
46 - ETOIXEION ια΄.
᾿Ἐπεζξζεύχϑωσαν γὰρ αἱ ADI, Β4, 44, xol δυμ- βαλλέτω y 44 τῷ ΚΑ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ X σημεῖον, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ES, EZ. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΚΑ, ΜΝ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΕΒΖΞ τέμνεται. αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ ΕΠ, Β4 παράλ- ληλοί εἰσιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παρ- ἄλληλα và HO, ΚΑ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ANEZI τέ- μνεται, αἷ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ AT, ΞΖ παράλληλοί εἶσιν. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ 484 παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν B. εὐθεῖα ἤκται ἡ EH, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ AE πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ 413 πρὸς A4. πάλιν ἐπεὶ τριγώνου τοῦ 44Γ παρὰ μίαν τῶν πλευ- ρῶν τὴν 4Γ εὐθεῖα ἧκται ἡ ΞΖ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΑΞ πρὸς EZ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς Z2. ἐδείχϑη δὲ καὶ ὡς ἡ AA πρὸς E, οὕτως ἡ 4E πρὸς EB: καὶ ὡς ἄρα ἡ 4 πρὸς EB, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς Z4.
Ἐὰν ἄρα δύο εὐϑεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τέμνωνται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηϑήσονται" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
2. τῷ τόφ. 8. EZ] X" Z' Ὁ. ἐπέπεδοιφ. 4. παρ- ἀλληλα] — οἱ g. ἘΒ4ΞῚ Ain ras. V, corr. ex Z m. 1 F. 6. ES, B4] in ras. V, & eras. B; EZ, Bab. 6. εἶσι Vb, comp. F. διά — 9. εἰσιν} mg. v. 7. ἐπιπέδου τοῦ] corr. ex ἐπιπέδου P. m. 2. 4512] Καὶ Ἔ in ras. V. 8. ἐπ Ζ) corr. ex Z m. 2 B. — 9. εἰσι Ὁ, com ue g. 10. τήν τῇ b. εὐθεῖαν B, sed eorr. i drus] om τὴν EB 19.44" I'b. 18. τήν rà» Φ (non P) εὐθείαν B, sed corr. ἐστιν] ἄρα F V. 14. τὴν R4BF. — DZ]Zin ras. m. rec. V. τὴν Z4 BFVb. ἐδεέχϑη —15. EB] mg. m. 2 B. — 15. τὴν 5&4 FVb. τὴν EB V. 16. καὶ ὡς ρα] ἔστιν ἄρα καὶ dg b, & in spatio plur. litt. g. AE] 4 in ras. m. 2 τὴν EB BFb. τὴν Z4 B. 17. ὑπό — 19. δεῖξαι} xal τὰ ἑξῆς Υ. 18. τέμνωνται, εἰς} στερεῶν seq. lac. φ. τμή- σονται B, corr. m. 9.
ELEMENTORUM LIBER XI. 41
ducantur enim AT', B, 421, et 4.2] cum plano K.A concurrat in puncto A, et ducantur EX, XZ. et quoniam duo plana parallela K 44, MN plano EB secantur, communes eorum sectiones ΕΗ, B1 paral- lelae sunt [prop. XVI] eadem de causa, quoniam
duo plana parallela ΗΘ, K 4 plano 4,32Γ secantur, communes eorum sectiones 4Γ, ΑΖ parallelae sunt. et quoniam in triangulo 4B 4 uni laterum B 7 paral- lela ducta est recta EX, ert 4E: EB — 45: R4 [VI, 2]. rursus quoniam in iriangulo 44 /I' uni late- rum ΑΓ parallela ducta est recta ,$Z, erit. 4,8: Κὶ Δ — ΓΖ: Ζ4,.. sed demonstratum est, esse etiam 4X : X zl -- ΔΕ: ΕΒ. quare eliam 4E: EB -- ΓΖ: Ζ4.
Ergo si duae rectae planis parallelis secantur, se- cundum eandem rationem secabuntur; quod erat de- monsirandum.
1
1
2
2
cQ
0
6
0
σι
48 ZTOIXEIQSN ια΄.
u) .
Ἐὰν εὐϑεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρϑὰς ἧἦ, καὶ πάντα τὰ δι᾽ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται.
Εὐθεῖα γάρ τις ἡ AB τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔστω" λέγω, ὅτι καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς AB ἐπίπεδα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν.
Ἐχβεβλήσϑω γὰρ διὰ τῆς AB ἐπίπεδον τὸ AE, καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ τοῦ 4 E ἐπιπέδου καὶ τοῦ ὑπο- κειμένου ἡ ΓΕ. καὶ εἰλήφϑω ἐπὶ τῆς ΓΕ τυχὸν ση- μεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΓΕ πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω ἐν τῷ 4Ε ἐπιπέδῳ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ 4B πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον ὀρϑή ἐστιν, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑπο- κειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρϑή ἐστιν ἡ 418 ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΓΕ ὀρϑή ἐστιν ἡ ἄρα ὑπὸ ABZ γωνία ὀρϑή ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ HZB ὀρϑή᾽ παράλληλος ἄρα ἐστὴν q AB τῇ ΖΗ. ἡ δὲ AB τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν᾽ καὶ ἡ ZH ἄρα τῷ ὑπο- κειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. ΄ καὶ ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρϑόν ἐστιν, ὅταν αἵ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρϑὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ λοιπῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ὦσιν. καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων τῇ ΓΕ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ 4E πρὸς ὀρϑὰς ἀχϑεῖσα ἡ ZH ἐδείχϑη
4. ἔσται} corr. ex ἐστιν V. 6. εὐθεῖα --- 1. ἐστιν} mg. m. 1 V. 6. τῆς] om. φ (non F). 18. ἐστι PBF V, comp. b. 14. οὖσα P. 16. ἐστ V. γωνίαν qg. 11. HZB] in ras. V. 18. ἐστίν) om. V. τῷ] τῷ αὐτῷ F. 19. ἐστι B.
καὶ ἡ — 20. ἐστιν} om. b, mg. V. 19. ΗΖΡ. 20. ἐστι PBV, comp. F. καί] καὶ ἐπεί BV. 21. πρὸς ἐπίπεδον] Bupra m. 2 V. 238. ἐπιπέδῳ] τῶν ἐπιπέδων V. ὦσι V b.
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 49
XVIII.
Si recta ad planum aliquod perpendicularis est, eliam omnia plana, quae per eam ducuntur, ad idem planum perpendicularia erunt.
Nam recta 4B ad planum subiacens perpendicu- laris sit. dico, etiam omnia plana, quae per 4B du- cantur, ad planum subiacens perpendicularia esse.
ducatur enim per 4B planum ΖΕ, et communis sectio plani ΖΕ et subiacentis sit ΓΕ, et in ΓΕ sumatur punctum aliquod Z, et ab Z ad ΓΕ perpen-
4 H A dicularis in plano ZE ducatur Z H. et quoniam 418 ad planum sub- iacens perpendicularis est, etiam ad omnes reclas eam tangentes et in plano subiacenti positas perpendicu- laris est 4B [def. 3]. quare etiam ad ΓΕ perpendicularis est. itaque ( 4 BZ rectus est. uerum etiam ( HZ B rectus est. itaque 4B rectae ZH parallela est [I, 28]. 4B autem ad planum sub- jacens perpendicularis est. itaque etiam HZ ad pla- num subiacens perpendicularis est [prop. VIII] οἱ planum ad planum perpendiculare est, si rectae in altero plano ad communem: planorum sectionem per- pendieulares ductae ad reliquum planum perpendicu- lares sunt [def. 4]. et demonstratum est, ZH in altero plano Z1 E ad communem planorum sectionem ΓΕ per- pendicularem ductam ad planum subiacens perpen-
XVIII. Eutocius in Apollon. p. 28.
24. τῶν ἐπιπέδων τομῇ b. τομῇ) τομῇ ἄρα g. τῇ] -ῇ e corr. V Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 4
LL a — LOB aoa. OL
10
15
20
50 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ i«'.
τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς" τὸ ἄρα ΖΕ ἐπί- πεδον ὀρϑόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον. ὁμοίως δὴ δειχϑήσεται καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς AB ἐπίπεδα ὀρϑὰ τυγχανοντὰ πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.
᾿ΕἘὰν ἄρα εὐϑεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς f, καὶ πάντα τὰ δι’ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
9΄.
Ἐὰν δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς q, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται.
Δύο γὰρ ἐπίπεδα τὰ AB, ΒΓ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπι- πέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔστω, κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ Bat λέγω, ὅτι ἡ Β4 τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν.
Μὴ γάρ, καὶ ἤχϑωσαν ἀπὸ τοῦ 4 σημείου ἐν μὲν τῷ AB ἐπιπέδῳ τῇ 44 εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ AE, ἐν δὲ τῷ ΒΙΓ ἐπιπέδῳ τῇ ΓΩ͂ πρὸς ὀρϑὰς ἡ 4Z. καὶ ἐπεὶ τὸ 41 ἐπίπεδον ὀρϑόν ἐστι πρὸς τὸ ὑπο- κείμενον, καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ 44 πρὸς Óg- ϑὰς ἐν τῷ AB ἐπιπέδῳ ἧκται ἡ AE, ἡ AE ἄρα ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. ὁμοίως δὴ
2. ἐστιν P. Post ὑποκείμενον add. ἐπίπεδον b et mg. m. rec. V. 6. καί — 71, δεῖξαι): c V. 6. τὰ δι᾽ αὐτῆς ἐπι- euan. F. 9. τέμνοντα] στερξοντα q (non F) ἐπιπέδῳ τινί] om. F, sed uidetur fuisse in mg. 10. τομῇ] in ras. m. 1 P. 12, τῷ] bis P; corr. m. 1. 16. ἐστι BV, comp. Εἰ. 16. ἀπό] ὑπὸ P. 17. τῇ] e corr. b. πρός] om.
g. 4E) 4 e corr. V. 18. δὲ] om. P. ΓΖ) 4Γ b. 42]2.
in ras. V. 19. ἐστι] om. q (non F). 20. xat] ἐπίπεδον, καί b. A4] A in ras. F V.
πα w— m cm --Ο-----ς-ςς- --ς--------- -
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 51
dieularemg) esse. ergo ΖΕ planum ad subiacens per- pendiculare est. iam similiter demonstrabimus, etiam omnia plana, quae per 418 ducantur, ad planum sub- jacens perpendicularia esse.
Ergo si recta ad planum aliquod perpendicularis est, eliam omnia plana, quae per eam ducuntur, ad idem planum perpendicularia erunt; quod erat demon- strandum.
XIX.
Si duo plana inter se secantia ad planum aliquod perpendicularia sunt, eliam communis eorum sectio ad idem planum perpendicularis erit.
Nam duo plana 48, BI' ad planum subiacens per- pendieularia sint, et commu- nis eorum sectio sibü B4. dico, Β4 ad planum subia- cens perpendicularem esse.
Ne sit enim, et a ZZ puncto in plano 4B ad rec- tam 4471 perpendicularis du- catur Zl E, in BI' autem plano ad ΓΖ perpendicularis Ζ Ζ.1) ei quoniam 4 B planum ad subiacens perpendiculare est, et ad communem eorum sectionem 421 in plano 4B perpendicularis ducta est ΖΕ, 4 E ad planum subiacens perpendicularis est [def. 4]. similiter demonstrabimus,
1) Nam 81 communis planorum sectio ad planum subiacens perpendicularis non est, ad rectas 44, 4TI'rectos angulos non efficiet. ergo et in plano 4B et in BI'locus est perpendicu. lari ad 44 et ad Ζ4Γ' ἴῃ 4 erectae.
4*
Ct
10
59 ZTOIXEIQ9N ια΄.
δείξομεν, ὅτι xol ἡ 42Ζ ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκεί- μενον ἐπίπεδον. ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρα σημείου τοῦ 4 τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ δύο εὐϑεῖαι πρὸς ὀρϑὰς ἀνεσταμέναι εἰσὶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη" ὅπερ ἐστὶν ἀδύ- νατον. οὐκ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ 4 σημείου ἀνασταϑήσεται πρὸς ὀρϑὰς πλὴν τῆς 4B κοινῆς τομῆς τῶν 4B, ΒΓ ἐπιπέδων.
Ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρϑὰς d, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
,
κ΄.
"àv στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπι- πέδων περιέχηται, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
Στερεὰ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α' ὑπὸ τριῶν γω- νιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ BAI, DA44, 448 περι- ἐχέσϑω᾽ λέγω, ὅτι τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, Γ4Α24, 4248 γω- νιῶν δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσι πάντῃ
μεταλαμβανόμεναι.
20
Εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ BAD, ΓΑ4. 4.48 γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, φανερόν, ὅτι δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσιν. εἰ δὲ οὔ, ἔστω μείξων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ 48 εὐθείᾳ καὶ τῷ
πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α' τῇ ὑπὸ 4.48 γωνίᾳ ἐν τῷ
1. ὅτι καὶ 7j] om. φ (non F). 42] A"Z' b. 4. ἐστίν om. V. 6. τῆς] e corr. m. 1 b. 8. ἐπίπεδα — 10. δεῖξαι
: eo V. 9. ἦ, καί] euan. F. 14. μείξους Vg. πάντη seq. ras. 1 litt. P. 15. τῶι corr. in τὸ m. 1 b. 16. περι- ἐχέσθω — 11. γωνιῶν] mg. m. 2 V, in text. eras. γωνιῶν.
16. ΓΙΑ b. 90. ΓΑΔ 4 e cor. V. — 21. ἴσαι] εἰσι ἴσαι
—— ott 0 WM 0 0 9) —— ——— Mt m ΜΙ M
ELEMENTORUM LIBER XI. 53
eliam 4] Z perpendicularem esse ad planum subiacens. itaque ab eodem puncto zf ad planum subiacens duae rectae ad easdem partes perpendiculares erectae sunt; quod fieri non potest [prop. XIII] itaque a 4 puncto nulla recta ad planum subiacens perpendicularis eri- geiur praeter 7/B, quae communis est sectio plano- rum 4B, BI.
Ergo si duo plana inter se secantia ad planum aliquod perpendieularia sunt, etiam communis eorum sectio ad idem planum perpendicularis erit; quod erat demonstrandum.
XX.
Si angulus solidus tribus angulis planis continetur, duo quilibet reliquo maiores erunt quoquo modo con- iuncti.
Nam angulus solidus, qui ad 44 positus est, tribus angulis planis B.4TI, I'AA, 44 B continea- tur. dico, duos quos- libet angulorum B AT, I'44, 44AB reliquo maiores esse quoquo modo coniunctos.
iam si anguli ΒΓ, I4 2, 44 B inter se aequales sunt, adparet, duos quoslibet reliquo maiores esse. si minus, maior?) sit |, BAI, et ad rectam 4 B et punctum eius 44 in plano rectarum ΒΑ, A4I' angulo 448
1) Sc. angulo 44B. neque enim necesse est, omnium eum maximum esse.
V. εἰσίν} om. V. 22. εἰσι V, cotnp. F. 24. 4AB] AAT, P. év] om. B, supra scr. V
54 ZTOIXEION ια΄.
διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπιπέδῳ ἴση ἡ ὑπὸ BAE, καὶ κείσϑω τῇ 44 ἴση ἡ AE, καὶ διὰ τοῦ E σημείου διαχϑεῖσα ἡ ΒΕΓ τεμνέτω τὰς AB, 4Γ εὐϑείας κατὰ τὰ Β, Γ σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 48. ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ὅ ἐστὴν ἡ 44 τῇ AE, κοινὴ δὲ ἡ AB, δύο δυσὶν ἴσαι" καὶ γωνία ἡ ὑπὸ 44B γωνίᾳ τῇ ὑπὸ BAE loq: βάσις ἄρα ἡ 4B βάσει τῇ BE ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ B, 4Γ τῆς ΒΓ μείξονές εἰσιν, ὧν ἡ 4B τῇ BE ἐδείχϑη ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ 4Γ λοιπῆς τῆς ΕΓ 10 μείξων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ 4.4 τῇ AE, κοινὴ δὲ ἡ AD, καὶ βάσις ἡ 4Γ βάσεως τῆς ED μείξων ἐστίν, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ 4 4T' γωνίας τῆς ὑπὸ EAI μείξων ἐστίν. ἐδείχϑη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ 448 τῇ ὑπὸ BAE ἴση" αἱ ἄρα ὑπὸ 448, 44D τῆς ὑπὸ 15 BAT' usitovég εἰσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἵ λοιπαὶ σύνδυο λαμβανόμεναι τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσιν. Ἐὰν ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπι- πέδων περιέχηται, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἶσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
20 κα΄. “Ἅπασα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων [ἢ] τεσ- σάρων ὀρϑῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται. Ἔστω στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α περιεχομένη ὑπὸ ἐπιπέδων γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑ4, 4.48. λέγω, 25 ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, Γ424, 248 τεσσάρων ὀρϑῶν ἐλάσ- σονές εἰσιν.
1. ἐπιπέδῳ] in ras. m. 1 P. | supra scr. V, ut lin. 2. κείσϑω τῇ] διὰ τοῦ E σὴ φ (non F) Hinc plerasque ineptias manus g omisi, maxime ubi aut certa uestigia ueri super- erant, aut certe nulla erat causa de scriptura cod. F dubitandi.
ELEMENTORUM LIBER XI. 55
aequalis construatur /, B4 E, et ponatur 4 E — 4 4, ei BEI' per punctum E ducia rectas 4B, AT' secet in B, I' punctis, οὐ ducantur 4B, ZI: et quoniam 414 — AE, eà 4B communis est, duo latera duobus aequalia sunt; et / 4144 B — B.AAE. itaque 4B — BE [I, 4]. et quoniam B -ἰ A4I' ΒΓ [I, 20], et de- monstratum est, esse 28 — BE, erit Z1I' EI. et quoniam 214 — 4E, et 41 communis est, et ZI' ^ ET, eri& [./224I' EAT [I, 25]. et demonstratum est, esse etiam ( 724B — BAE. itaque 4AB --A4AT » BAI: eodem modo demonsirabimus, etiam reliquos angulos duo simul coniunctos reliquo maiores esse.
Ergo si angulus solidus tribus angulis planis con- tinetur, duo quilibet reliquo maiores sunt quoquo modo coniuncti; quod erat demonstrandum.
XXI].
Omnis angulus solidus planis angulis minoribus, quam sunt quattuor anguli recti, continentur.
Sit angulus solidus, qui ad' .4 positus est, compre- hensus planis angulis B.4I, Γ424, 44 B. dico, esse ΒΑΓ -rDAA4--2424B minores quattuor rectis.
8. ΓΊ corr. ex E m. 1 b. 4. 4B] BA F. 6. Post ἴσαι ras. 4 litt. hab. V. 7. ἐστιν ἴσῃ] ἴση seq. spatio uacuo 81i V. 8. B4] B4 DU 48 BV. τῇ V? 10. ἐστίν (prius) ἐστέ PBV, comp. Fb AE]inras. V. 11. 4 Γ] corr. ex JE B. 12. ἐστί P V, comp. F. Dein add. x«/V. — 44T'] ABI g. 14. τῆς bis P, corr, m. 1; τοῖς F. 11. ᾧπό — 19. δεῖξαι) καὶ τὰ ἑξῆς V. 91. ὁπό]. corr. ex ἀπό P.
ἢ] om. P. 22. ἐπιπέδων ὀρθῶν γωνιῶν V. — 98. τῷ] corr. in τό m. 1 b. — 24. ὑπό — 25. αἴ mg. m. 2 B. 24. l'A4d] - AAT ῳ et in ras. V. 25. ὑπό) eras. B; m. 2 V. ΓΑ“
F m. 1, 4ΑΓ F m. 2 et V in ras. 96, εἰσι V.
Q
10
15
20
56 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
Εἰλήφϑω γὰρ ἐφ᾽ ἑκάστης τῶν AB, ADI, 44 vv- χόντα σημεῖα và B, D, 4. καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ BI, ΓΖ, 48. καὶ ἐπεὶ στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ B on τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ABA, L'BA, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσιν αἴ ἄρα ὑπὸ D'BA, ABA τῆς ὑπὸ ΓΒ μείξονές εἰσιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ μὲν ὑπὸ ΒΓΩ͂, AI'A τῆς ὑπὸ BI4 μείζονές εἰσιν, ol δὲ ὑπὸ ΓΖ 4, 4418 τῆς ὑπὸ I'4B μείζονές εἰσιν αἴ ξξ ἄρα γωνίαι al ὑπὸ ΓΒΑ, ABA, ΒΓΑ, AUA, U4 A, 44B τριῶν τῶν ὑπὸ L'BZ, B4, U4B μείξονές εἰσιν. ἀλλὰ a£ τρεῖς αἱ ὑπὸ ΓΒΖΩ͂, Β4Γ, ΒΓΔ δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν" αἱ ξξ ἄρα αἱ υπὸ ΓΒΑ͂, 48Β4, ΒΓ4, 4Γ24, ΓΖ44, 448 δύο ὀρϑῶν μείξονές εἰσιν. καὶ ἐπεὶ ἑκάστου τῶν ABI, AI'4, 448 vgwoOvov oí τρεῖς γωνέαι δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν, αἱ ἄρα τῶν τριῶν τριγώνων ἐννέα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ͂, AUB, Β4Γ, AT'A, ΓΖ4, ΓΑ424, 448, 4BA, Β44 ἕξ ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν, ὧν αἱ ὑπὸ ABI, ΒΓΑ, AULA, Γ44. 448, 4B 4 ἕξ γωνίαι δύο ὀρϑῶν εἰσι μείξονες" λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ Β4Γ, Γ44, 44B τρεῖς [γωνίαι] περιέχουσαι τὴν στερεὰν γωνίαν τεσσάρων ὀρϑῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
2. ΓῚ supra scr. m. 1 V. 3. dB] AB g. 4. Ante τριῶν ins. γάρ m. 2 V. ὅ. l'B4d]inras. m. 1 P. 6. ὑπό] (alt.) om. F. εἰσι BV, comp. Fb. 71. BI'A4] supra A scr. zc m. 1 b.
8. BU 4) l'BZ F, eorr. m. 2 (sed euan.)). εἶσι BVb, comp. F. αἵ $e καὶ ἔτι aL BF Vb. — 10. 4847 ΒΩ͂ in ras. B, item litt. seq. DL44j]inras.V. 11.Β 4) ΓΩ͂ ἴῃ τϑβ. Υ. I'4B]inras.V. ἀλλ᾽ Ὁ. 12. BI'4] B eb zin ras. V. εἰσί V, comp. F.
18. 4B] m. rec. V. D'44]in ras. V; 44 Γ' e corr. m. 2 B. 14.070] 484 δύο. εἰσι BVb,comp. F. 15. of τρεῖς τριε-
yovov F, corr. m. 1. τριγώνου P, et b, sed corr. m. 1.
11. ΓΒΑ ΓΒΔ F, BAecorr. V. APB|] ABD P. 18. ΓΔΑ
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 51
sumatur enim in singulis rectis 4B, AI, 44
quaelibet puncta B, I, 4, et ducantur BI, I4, 4B.
Pw el quoniam angulus solidus, qui ad B positus est, tribus angulis planis continetur I'B A4,
4 ABA,T'BA, duo quilibet re- liquo maiores sunt [prop. XX]. B llaque ID'BA4 -ἰ 4BA4 ΓΒΖ. eadem de causa erunt etiam BI'A4 -ἰ AI'4 — BI'A, ΓΖ4-Ὁ 448)» ΓΖ8.
itaque ΓΒΑ - ABzZ-- ΒΓ4 Π AUA --D44
Ἔ 448)»ΓΒΖ ΈΒΓΙΓΠ- Γ48Β. uerum
ΓΒΖ4- Β4Γ- BIA .
duobus rectis aequales sunt [I, 32]. itaque sex anguli I'BA--4BZ-F-BIA4-F- ADUA-d-DI44-4-424B
duobus rectis maiores sunt. et quoniam singulorum triangulorum 4BI', AI'Z, 448 tres anguli duobus rectis aequales sunt, nouem anguli trium triangulorum DBA -L- ADB 4- BAT 4- AUA - Γ44 4- DAZH Ἢ 44B -- 4BA-- BA4 sex rectis equales sunt, quorum
ABI'-- BUA-- AUA -D44d- 428- ABA duobus rectis maiores sunt. itaque reliqui
Β4Γ- Γ44- 448,
qui angulum solidum continent, quattuor rectis mi- nores sunt.
id ras. V; 44AT' B. DAZ] Ad inras V; ΓΙΑ B. BA44] BA4A P. 20. μείξονές εἰσι(ν) BV. 21. γωνίαι] om. P. 22. εἶσι V, comp. F. Seq. in V πάντη, sed del
Q
10
15
20
58 ΣΤΟΙΧΕΙ͂ΟΝ :«'.
“Ἅπασα ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων [ἢ] τεσ- σάρων ὀρϑῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
κβ΄.
Ἐὰν ὦσι τρεῖς γωνέαι ἐπίπεδοι, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανό- μεναι, περιέχωσι δὲ αὐτὰς ἴσαι εὐϑεῖαι, δυνα- τόν ἐστιν ἐκ τῶν ἐπιξευγνυουσῶν τὰς ἴσας sU- ϑείας τρίγωνον συστήσασϑαι.
Ἔστωσαν τρεῖς γωνίαι ἐπέπεδοι αἱ ὑπὸ 48Γ,4Ε2Ζ, ΗΘΚ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, αἱ μὲν ὑπὸ ABI, AEZ τῆς ὑπὸ ΗΘΚ, αἱ δὲ ὑπὸ 4ΕΖ, ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ABI, καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ ΗΘΚ, 48Γ τῆς ὑπὸ A4EZ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι α 4B, ΒΓ, 4E, EZ, ΗΘ. OK εὐϑεῖαι, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 4Γ, 4Z, HK: λέγω, ὅτι δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς AD, 4Ζ, ΗΚ τρίγωνον συ- στύσασϑαι, τουτέστιν ὅτι τῶν 4Γ, 4Z, HK δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσιν.
Εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ ABD, AEZ, ΗΘΚ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, φανερόν, ὅτι καὶ τῶν ΑΓ, AZ, ΗΚ ἴσων γινομένων δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ADI, 42, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι. εἰ δὲ oU,
1. ἄρα] ϑαρτα sor. m. 1 P. — $xó — 8. δεῖξαι): c» V.
1. 7] postea add. m. 1 P. 7. περιέχωσιν P, περιέχουσι F. 8. Supra ἴσας add. γωνέας m. 9 B, del. m. rec. εὐθείας] γωνίας εὐθειῶν V. 11. εἰσι] ἔστωσαν BF V et b (sc- in ras.). 15. εὐθεῖαι] m. rec. V. 17. συνστήσασϑαι P, corr. m. 2. 18. ὅτι] corr. ex τό m. 2 F. 19. μείζους V. εἶσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι Theon (BF Vb). 21. εἶσι ἴσαι V. εἰσίν] εἰσί PBb, comp. F.; om. V. 22. γιγνομένων
F, γενομένων b.
ELEMENTORUM LIBER XI. 59
Ergo omnis!) angulus solidus planis angulis mi- noribus, quam sunt quattuor recti, continetur; quod erat. demonstrandum.
XXII. Si ires anguli plani sunt, quorum duo reliquo maiores sunt quoquo modo coniuncti, et eos aequales
e B | E
4 ID 4 Z H K
continent rectae, fieri potest, ut ex rectis aequales rectas coniungentibus triangulus construatur.
Sint tres anguli plani ΑΒΓ, 4 EZ, ΗΘΚ, quo- rum duo reliquo maiores sunt quoquo modo coniuncti, ABI'- 4EZ ΗΘΚ, AEZ -]-HOK — ABT, HO K -- 4ΒΓ» AEZ, ei sib. 4B — ΒΓ — AE — EZ — H0 — 0K, et du- cantur 4I, 42, HK. dico, fieri posse, ut ex rectis aequalibus rectis 4T, 4Z, HK triangulus construatur, hoc est, rectarum ΑΓ, 4Z, HK duas quaslibet re-
liqua maiores esse.
iam si anguli 44 BI, 4 EZ, HO K inter se aequales sunt, manifestum est, cum etiam AI*, 44Z, HK aequales sint [I, 4], fieri posse, αὖ ex rectis aequalibus rectis ΑΓ, 42, ΗΚ iriangulus construatur. sin minus, in-
1) Nam in angulis solidis, qui plus quam tribus planis angulis continentur, similiter ratiocinandum est.
10
15
20
60 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄,
ἔστωσαν ἄνισοι, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ OK εὐϑείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Θ τῇ ὑπὸ ABD γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΘ.’ καὶ κείσϑω μιᾷ τῶν 48, ΒΓ, AE, EZ, H0, ΘΚ ἴση ἡ ΘΑ, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ KA, HA. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ 4B, ΒΓ δυσὶ ταῖς KO, 0 A4 ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ B γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΘ. ἴση, βάσις ἄρα ἡ 4Γ βάσει τῇ Καὶ 4 ἴση. καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ABI, ΗΘΚ τῆς ὑπὸ A4EZ μείξονές εἶσιν, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ABI τῇ ὑπὸ KO, ἡ ἄρα ὑπὸ ΗΘ. τῆς ὑπὸ AEZ usítov ἐστίν. καὶ ἐπεὶ δύο ol ΗΘ, 6.4 δύο ταῖς 4Ε, EZ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΘ. γωνίας τῆς ὑπὸ A4EZ μείξων, βάσις ἄρα y» HA βάσεως τῆς 4Z μείξων ἐστίν. ἀλλὰ αἱ ΗΚ, ΚΑ τῆς HA μείξονές εἰσιν. πολλῷ ἄρα αἱ ΗΚ, Κα τῆς 4Z μείξονές εἰσιν. ἴση δὲ ἡ ΚΑ τῇ AI" αἵ AI, HK ἄρα τῆς λοιπῆς τῆς ZZ us(tovég εἰσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἵ μὲν 4Γ, 4Z τῆς HK μιξίξονές εἰσιν, καὶ ἔτι α 4Ζ, ΗΚ τῆς 4Γ μείξονές εἰσιν. δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς AI, 4Z, ΗΚ τρίγωνον συστήσασϑαι" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
κγ΄. Ἐκ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι,
1. Post ἄνισοι add. καὶ ἔστω μείξων ἡ πρὸς τῷ E mg. m. rec, V. 2. αὐτήν b. 8. AB] AT φ. 4. ἴση ἡ 6 A] supra scr. m. 2 V; 4inras. B. ἐπεζεύχϑωσαν — 5. καί] postea ins. m. 1P. 5b. 4B]inras. m. 1 P. 6. εἰσί BVb, comp. F. τῷ] mutat. in τό b. 7. KA F. ἐἩστιν ἴση BF. 8. of] om. F; uidetur supra scr. fuisse, sed euan. | Zz EZ) in ras. V. 10. "9-H"AF. ἐστί PBV, comp. F. 11. δυσί Ρ. εἰσί Vb,
ELEMENTORUM LIBER XI. 61
aequales sint, et ad rectam 6 K et punctum eius 9 angulo 4 BI' aequalis construatur /, KO 4, et ponatur 64 cuilibet rectarum 4B, ΒΓ, 4Ε, EZ, HO, ΘΚ aequalis, et dueantur Κα, H4. οὗ quoniam duae AB, BI' duabus ΚΘ, 9.1 aequales sunt, et angulus ad B positus angulo K6.4 aequalis est, erit etiam 4T' 4 —K.A [I, 4]. et quoniam ΑΒΓ HOK AEZ, et H Y ABD — KO A, erit [ HO 4 — Z4EZ. eti quoniam duae HO, 604 duabus ZE, EZ aequales sunt, et { ΗΘ. » ΔΕΖ, erit HA ZZ (I, 24]. uerum HK -- K A HA [, 20] itaque multo magis erunt HK --KA4-ZAZ.
sed Κα — AI. itaque AI']- HK 4Z. iam simi- liter demonstrabimus, esse etiam 4Γ -- 22)» HK, A4Z-- HK. AI. itaque fieri potest, ut ex rectis aequalibus rectis 4T, 44Z, H Καὶ iriangulus construatur; quod erat demonstrandum.
e
XXIII.
Ex tribus angulis planis, quorum duo reliquo ma- iores sunt quoquo modo coniuncti, angulum solidum
comp. F. 12. ὑπὸ 4EZ] πρὸς τῷ E V, et fort. F in mg. sed euan. 13. ἐστί V, comp. F. 14. εἰσι PV, comp. F. 16. Post εἶσιν una linea eras. in V. 17. ὅτι καί] καὶ ὅτι V. 18. εἶσι P, comp. F. καὶ ἔτι αἴ] P; αἵ δέ Theon (ΒΡΥ Ὁ); sed cfr. p. 64, 4(. AZ"HK' b, HK, AZ BFV. μείξονές εἰσιν} om. BF V. 19. εἰσι b. 20. ὅπερ ἔδει δεῖξαι om. V. Seq. demonstr. alt.; u. app. 99. of] of F.
ex
10
15
20
62 ZTOIXEISNN ια΄.
στερεὰν γωνίαν συστήσασϑαι᾽ δεῖ δὴ τὰς τρεῖς τεσσάρων ὀρϑῶν ἐλάσσονας εἶναι.
Ἔστωσαν αἱ δοϑεῖσαι τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι αἱ ὑπὸ ABI, 4EZ, ΗΘΚ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείξονες ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, ἔτι δὲ αἱ τρεῖς τεσσάρων ὀρϑῶν ἐλάσσονες" δεῖ δὴ ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ὑπὸ ABI, 4ΕΖ., ΗΘΚ στερεὰν γωνέαν συστή- σασθαι.
᾿Δπειλήφϑωδαν ἴσαι αἱ 4B, BI, 4Ε, EZ, H0, ΘΚ, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ AD, 4Z, HK: δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς AI, 4Z, ΗΚ τρίγωνον συστήσασϑαι. συνεστάτω τὸ ΛΜΝ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν AT τῇ AM, τὴν δὲ AZ τῇ ΜΝ, καὶ ἔτει τὴν HK τῇ NA, καὶ περιγεγράφϑω περὶ τὸ AMN τρίγωνον κύκλος ὁ 4MN, καὶ εἰλήφϑω αὐτοῦ τὸ κέν- τρον καὶ ἔστω τὸ E, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν oí ΔΕ, MA, ΝΞ λέγω, ὅτι ἡ 4B μείξων ἐστὶ τῆς AR. εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἡ AB τῇ 413 ἢ ἐλάττων. ἔστω πρότερον ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AB τῇ 4,33, ἀλλὰ ἡ μὲν AB τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ Ξ4 τῇ EM, δύο δὴ αἱ AB, ΒΓ δύο ταῖς AX, AM ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ" καὶ
1. στερεὰ γωνία F, sed corr. συστήσασϑαι γωνίαν V. συν- στήσασϑαι P, corr. m. 2. — 2. ἐλάττονας P. osb εἶναι add. διὰ τὸ καὶ πᾶσαν στερεὰν γωνέαν ὑπὸ τριῶν (q) ἢ τεσσάρων ὀρθῶν γωνιῶν περιέχεσθαι E, 4. ὧν af] γωνίαι F, ὧν αἴ add. m. 92. 6. ἐλάττονες P, ἐλάσσους FV. Dein add. ἔστω- σαν F. 7. συνστήσασϑαι P, corr. m. 92. 9. BI'| BT, A b. 4E] corr. ex l'E m. 1 b. 11. ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς] δὴ ἐκ τριῶν τῶν b; mg. yo. ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων.
19. συνστήσασθαι P, corr. m. 3. 183. 4M] AB φ. 14. τῇ] supra scr. V. NA] AN BFV. 15. Post κέντρον add. ἔσται δὴ ἤτοι ἐντὸς τοῦ ΛΜΝ τριγώνου ἢ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευ- ρῶν αὐτοῦ ἢ ἐκτός. ἔστω πρότερον ἐντός ΒΥ. 17. ἐστί] ἐστίν
τ -- Ὁ... Al
ELEMENTORUM LIBER XI. 63
construere; oportet igitur 1), tres angulos illos quattuor rectis minores esse [prop. XXI].
Sint dati tres anguli plani 4BI, 4EZ, ΗΘΚ, quorum duo reliquo maiores sint quoquo modo con- iuncti, et praeterea ires illi quattuor rectis minores. oportet igitur ex angulis aequalibus angulis ΑΒΓ, 4 EZ, ΗΘΚ angulum solidum construere.
abscindantur inter se aequales 4B, BI 4E, EZ, ΗΘ, OK, et ducantur AI, 4Z, HK. feri igitur
B E e ÁN ΖΝ /N 4 r 4 H K
potest, ut ex rectis aequalibus rectis 4I, 4Z, HK iriangulus construatur [prop. XXII]. construatur 4MN, iia ut sit 4I'-- 4M, 4Z — MN, HK — N A, et circum iriangudlum A4MXN circulus describatur ΜΜΝ [IV, 5], et sumatur centrum eius et sit ΚΦ, et ducantur AX, MAE, NA. dico, esse 4B 7 4/5; nam si minus, erii aub 4B — 45 aut 4B « 4A. sit prius 4B — /A. eli quoniam 4B — 43, et 4B — BI, ὶ
— £M, duo latera 4B, BI' duobus lateribus A45, AM alterun alteri aequalia sunt; et supposuimus,
1) Nam δή cum omnibus codicibus retinendum est. idem I, 92 p. 52, 17 pro δέ cum codicibus restituendum est. nam etiam apud Eutocium in Apollonium p. 10 in codd. δή scribi pro δέ, nunc cognoui.
P. πτῆς] corr. ex τῆι B. 18. ἴση] supra scr..m. 1 V. 19. ἀλλ BF. 20. S4] 4X Bb. 421. δύο] δυσί b.
σι
10
2
15
e
64 ZTOIXEISN ια΄.
βάσις ἡ 4Γ βάσει τῇ AM ὑπόκειται ἴση" γωνία ἄρα 4 ὑπὸ ABI γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ARM ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ 4EZ τῇ ὑπὸ MEN ἐστιν ἴση, καὶ ἔτι ἡ ὑπὸ ΗΘΚ τῇ ὑπὸ NE: al ἄρα τρεῖς a( ὑπὸ 4BI, A4EZ, ΗΘΚ γωνίαι τρισὶ ταῖς ὑπὸ ARM, MEN, NEA εἰσιν ἴσαι. ἀλλὰ al τρεῖς αἵ oxi ΕΜ, MEN, ΝΕ A τέτταρσιν ὀρϑαῖς εἰσυν ἴσαι"
καὶ αἵ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ABI, A4EZ, ΗΘΚ τέτταρσιν
ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν. ὑπόκεινται δὲ καὶ τεσσάρων ὀρ- ϑῶν ἐλάσσονες" ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ AB τῇ 435 ἴση ἐστίν. λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν 5 AB τῆς 413. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω᾽ καὶ κείσϑω τῇ μὲν AB ἴση ἡ &O, τῇ δὲ ΒΓ ἴση ἡ RII, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ OIL καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ 48 τῇ BI, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΞΟ τῇ AIL ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ 40 τῇ ΠΜ ἐστιν ἴση. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ AM τῇ ΟΠ, καὶ ἰσογώνιον τὸ 4ME τῷ ΟΠ" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ X4 πρὸς 4M, οὕτως ἡ ΞΟ πρὸς ΟΠ' ἐναλλὰξ ὡς ἡ 45 πρὸς ΞΟ, οὕτως ἡ ΜΜ πρὸς ΟΠ. usitov δὲ ἡ 45 τῆς ΞΟ μείξων ἄρα καὶ ἢ 4M τῆς ΟΠ. ἀλλὰ ἡ
"AM κεῖται τῇ 4Γ ἴση" καὶ 4$ 4Γ ἄρα τῆς ΟΠ μεί.-
—
2. A&M)] supra ras. m. 2 B. 8. MEN] 5 m.1PV. 6 τρισί] ἴσαι εἰσὶ τριίγῦ. — 6. MEN) corr. ex MNE V, MN 5A b. NXA — 1. MEN) mg. m. 2 B.
6. εἰσιν ἴσαι] om. V g, ἴσαι εἰσίν Bb. ἀλλ᾽ b. et p! supra m. 2 7. τέτρασιν BFVb. ἴσαι εἰσίν BV. 8. κα αἴ — 9. εἰσίν] mg. m. 2 V, euan. in F. 8. ἄρα αἴ of ἄρα P. τέσσαρσιν V, τέτρασι BFb. 9. εἰσιν ἴσαι Bb. 11. ἐστιν (oy V. 18. 1) (prius) supra scr. V. 14, ἐστί] ἐστίν PB, δέ euan. V. A B. λοιπῇ τῇ Theon (B vo. IIM] in ras. V, MI fA 16. ἐστιν} in ras. V. ἐστίν} om. V. AM) A in ras. m. 1 B. 17. Post 4M X add. τρίγω- 70v» comp. EA] 458 F, corr. m. 9. 18. τὴν AM, M
ELEMENTORUM LIBER XI. 65
esse 4I'— 4M. itaque erit ( ABI' — AAM [I, 8]. eadem de causa etiam LAEZ-— MEN, L HOK;,— NÀ ergo LABI 4- AEZ - HOK —L AEM -- MEN T NAA.
sed [48 M -]- MXN - ΝΞ quattuor rectis aequales sunt. quare etiam | 4BI'J- 4EZ -]- HG K quattuor
rectis aequales sunt. uerum supposuimus, eos quattuor rectis minores esse; quod absurdum est. itaque non erii 4B — ΑΞ. iam dieo, ne minorem quidem esse 4B quam 4X. nam si fleri potest, sit minor. et ponatur A4O — 4B, XII -— BI, et ducatur ΟΠ. οἱ quoniam 4.8 — BI, erii etiam ,3O — AIL. quare eliam 4O — IIM. ergo 4M rectae OII parallela est [VI, 2], et 4M triangulo ΟΠ aequiangulus est [I, 29]. itaque erit 54: 4M — EO : OII(VI, 4]. permutando 45:540 — 4M:0II [V, 16]. uerum AR AO. itaque etiam 4M — OII [V, 14]. sed posuimus 4M — 4I. itaque etiam 4Γ» ΟΠ. quo-
1) Hoc nusquam demonstratum est, sed facillime ex I, 18 concluditur; cfr. ad I, 15 coroll.
in ras. V. τὴν OII V. eg] ἄρα ὡς V (F?). m. 2 V. 290. xe/] om. V. 4]ins.m.9 F. ἀλλ᾽ Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 5
ἢ] ins. BF.
10
15
20
25
66 ZTOIXEION ια΄.
fov ἐστίν. ἐπεὶ οὖν δύο αἱ 4B, ΒΓ δυσὶ ταῖς OA, SII ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις 7) 4Γ βάσεως τῆς ΟΠ μεί- tov ἐστίν, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ 48ΒΓ γωνίας τῆς ὑπὸ OXII μείζων ἐστίν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ 4ΕΖ2Ζ2 τῆς ὑπὸ MAN μείξων ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΘΚ τῆς ὑπὸ NEA. αἱ ἄρα τρεῖς γωνίαι ot ὑπὸ ABI, AEZ, ΗΘΚ τριῶν τῶν ὑπὸ AKM, MEN, ΝΗ͂Α μείξονές εἰσιν. ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ABI, AEZ, ΗΘΚ τεσσάρων ὀρϑῶν ἐλάσσονες ὑπόκεινται" πολλῷ ἄρα αἱ ὑπὸ AESM, ΜΕΝ, ΝΕ 4 τεσσάρων ὀρϑῶν ἐλάσσονές εἰσιν. ἀλλὰ καὶ ἴσαι" ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ 48 ἐλάσσων ἐστὶ τῆς AR. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴση" μείξων ἄρα ἡ 4B τῆς 45. ἀνεστάτω δὴ ἀπὸ τοῦ M σημείου τῷ τοῦ AMN κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ EP, καὶ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς 48Β τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς 413, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς EP, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ P4, PM, PN. καὶ ἐπεὶ ἡ PE ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΜΜΝ κύκλου ἐπίπεδον. καὶ πρὸς ἑκάστην ἄρα τῶν AER, MA, ΝΞ ὀρϑή ἐστιν ἡ PA. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὸν ἡ 4.3 τῇ & M, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρϑὰς ἡ EP, βάσις ἄρα ἡ ΡΑ͂ βάσει τῇ PM ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ΡΝ ἑκατέρᾳ τῶν PA, PM ἐστιν ἴση" αἵ τρεῖς ἄρα a£ PA, PM, PN ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ᾧ μεῖξόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς 4B τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΑ, ἐκείνῳ ἴσον ὑπόκειται τὸ ἀπὸ τῆς EP, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 48 ἴσον
1. Post δύο add. εὐθεῖαι FV, B supra scr. m. 2. δυσί] δύο b(F?) 2. sío( Vb, comp. F. 8. ἐστί BV b, comp. F.
δ. MEN] 5 in ras. m. 1 P. 6. ὑπό] (prius) om. V, supra scr. m. 2 B. 7. AB, BI', dE, EZ, HO, ΘΚ P. τριῶν — 9. HOK] mg. m. 2 V. 8. ἀλλ᾽ FVb. 9. ἐλάττονες
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 61
niam igitur duo latera 4B, BI' duobus ΟΣ, ΞΠ
aequalia sunt, eb 4ΓῚ ΟΠ, erit ( 4BI' — O&XII [I,
25]. similiter demonstrabimus, esse etiam / 41EZ
ΜΞΝ, LHOK » N34. aque ABI'-- AEZ
CF HOeK 48M 4 - MEN j- ΝΕ... uerum suppo-
suimus, esse ' 4ΒΓ- ΕΖΗΘΚ
quattuor rectis minores. multo igitur magis 45M -CF MAN - NX4 quattuor rectis minores sunt. sed lidem quattuor rectis aequales sunt; quod absurdum est. itaque 4B recta 4,5 minor non est. et demon- stratum est, eam ne aequalem quidem esse. ergo AB 433. erigatur igitur in puncto ,5 ad planum αἰτοῦ “ΜΙΝ perpendicularis EP [prop. XII]. et sit SP*-— 4B? — AAR?*, et ducantur PA, PM, PN. et quoniam P5 ad planum circuli 4 MN perpendicularis est, P/3 ad singulas rectas 43, M, N A4 perpendicu- laris est. et quoniam ΖΞ -— αὶ Μ, et EP communis est et perpendicularis, erit PA — PM [I, 4].
eadem de causa erii etiam ΡΝ — ΡΖ — PM. itaque P4, PM, PN inter se aequales sunt. et quoniam suppositum est, esse XP? -—— 4B*-—- 45?, erii 485 — 4H*-L EP. uerum
P. 10. MEN] EN in ras. m. 1 F. 11. εἶσιν ἐλάσσονες
P. ἐστίν om. V. 12. ἐστίν P. 18. ἄρα] ἐστὶν ἄρα F. ἀνεστάτω] bis b; liti. » in ras. m. 1 P. 14. κύκλου]
om. g. 15. ἐστιν P. 16. τό] corr. ex τῷ m. 2 F.
17. PN] supra scr. V. 18. PE] EP B. ἐστιν P.
ἐπίπεδον κύκλον F. 20. M] MAE corr. ex NX m. 1 Ὁ. 29. PN] N e cor. V. 28. ἴση ἐστίν V. 94. εἰσί b,
corr. ex εἰσέν V, comp. F. 26. τό] (prius) corr. ex τῷ F.
5*.
et
10
15
68 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΞ, ΞΡ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ARE, ἘΡ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς 4P* ὀρϑὴ γὰρ ἡ ὑπὸ AESFP: τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 48 ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς PA: ἴση ἄρα ἡ 48 τῇ PA. ἀλλὰ τῇ μὲν AB ἴση ἐστὶν ἑκάστη τῶν BI, 4E, EZ, HO, OK, τῇ δὲ PA ἴδη ἑκατέρα τῶν PM, PN: ἑκάστη ἄρα τῶν 4B, ΒΓ, 4E, EZ, HO, OK ἑκάστῃ τῶν PA, PM, PN ἴση ἐστίν. καὶ ἐπεὶ δύο α AP, PM δυσὶ ταῖς 4B, ΒΓ ἴσαι εἰσέν, καὶ βάσις ἣ ΜΜ βάσει τῇ AT ὑπόκειται ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΡΜ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ABI' ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΜΡΝ τῇ ὑπὸ AEZ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ APN τῇ ὑπὸ ΗΘΚ.
Ἐκ τριῶν ἄρα γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ἱπὸ ΡΜ, MPN, APN, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοϑείσαις ταῖς ὑπὸ ABI, AEZ, HOK, στερεὰ γωνία συνέσταται ἡ πρὸς τῷ P περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΡΜ, ΜΡΝ, APN γωνιῶν᾽ ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Am uuo. Ὃν δὲ τρόπον, ᾧ μεῖξόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς AB τοῦ ἀπὸ τῆς AE, ἐκείνῳ ἴσον λαβεῖν ἔστι τὸ ἀπὸ τῆς AP,
δείξομεν οὕτως. ἐκκείσϑωσαν αἱ AB, A5 εὐϑεῖαι,
1. τοῖς δέ — 2. AP] mg. m. 1 F. 8. ΡΜ] e corr. V.
4. PA] corr. ex AP V. 6. Θ ΑἹ] corr. ex HK m. 1B.
Ante ΡΜ del. 4 m. 1 PF. 6. Post PN ras. 8 litt. V.
1. ἐστίν] om. V. 8 AP] PA F. εἰσί Vb, comp. F.
9. Ante γωνέα ins. καί m. 9 V. 10. γωνέᾳ) om. B; post
ins. F. 11. MN P F. ἴση ἐστίν F V. 14. τρισίν B. 15. συνέσταται F' Vb. 16. ἡ] om. g. τῷ mut. in
τό b, τό g. à. τῶν ὑπό b. 17. ὅπερ ἔδει ποιῆσαι} om.
V. ποιῆσαι] δεῖξαι Pb, yo. ποιῆσαι mg. b. Seq. duo casus
singulares cum demonstrationibus, u. app. Hoc lemma in
b et in textu (b) et in mg. ἃ m. 1 (f) reperitur, add. yg.
|
ELEMENTORUM LIBER XI. 69
AP? — AR? -- S P? (I, 47]; nam [ 4XP rectus est. quare 4B? — P.fj. itaque AB — PA. sed AB -—BI-—A4E-—EZ-—HO0--0kK et PA — PM — PN. itaque AB — BI'— 4E — EZ — HO —0K — PA-—PM — PN. el quoniam duae rectae 4P, PM duabus rectis 4B, BI'aequales sunt, et suppositum est, esse 4M — AT, erit etiam / 4PM — ΑΒΓ [I, 8. eadem de causa erii etiam ἰ MPN — ΕΖ, APN — ΗΘΚ.
Ergo ex tribus angulis planis 4 PM, MPN, APN, qui tribus datis angulis ΑΒΓ, 4EZ, HO K aequales sunt, solidus angulus constructus est, qui ad P positus est angulis 4PM, MPN, APN comprehensus; quod oportebat fieri.")
Corollarium. Quomodo autem fieri possit, ut sumatur Καὶ P? — 4. B?
52
-—- 4.35, sic demonstrabimus. . exponantur rectae 48, //X, et maior sit 4B, et
1) Quae in codd. sequuntur demonstrationes casuum sin- gularium, 80 Euclide profectae esse non possunt. nam prae- paratio p. 62, 14 (u. adn. crit. omnino necessaria, si tres casus separantur, manitesto interpolata est, neque post clausulam legitimam p. 68, 18—17 plura addi possunt. praeterea demon- strationes ipsae uerbosiores sunt neque apud Campanum in- ueniuntur, neque consuetudo fert Euclidis, ut ad omnes casus respiciatur.
οὕτως. 18. rw om. codd. 220. τό] om. Εἰ; add. m. 2, 8cd euan. 21. δείξωμεν P.
σι
10
15
20
τ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ια΄.
καὶ ἔστω μείξων ἡ 48, καὶ γεγράφϑω ἐπ᾽ αὐτῆς ἡμι- κύκλιον τὸ ABI, καὶ εἰς τὸ ABI ἡμικύκλιον ἐνηρ- μόσϑω τῇ AE εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς 48 δια- μέτρου ἴση ἡ AI, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ΓΒ. ἐπεὶ οὖν ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ 4ΓΒ γωνία ἐστὶν ἡ oxi AI B, ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ 4ΓΒ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 48 ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν AI, ΓΒ. ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς 4B τοῦ ἀπὸ τῆς 4Γ μεῖξόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἴση δὲ ἡ AD τῇ A5. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 48 τοῦ ἀπὸ τῆς AA μεῖξόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἐὰν οὖν τῇ ΒΓ ἴσην τὴν EP ἀπολάβωμεν, ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς 48 τοῦ ἀπὸ τῆς 4Ξ μεῖξον τῷ ἀπὸ τῆς AP ὕπερ προέχειτο ποιῆσαι. | κδ΄.
Ἐὰν στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιέχηται, τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμα ἐστιν.
Στερεὸν γὰρ τὸ ΓΩΘΗ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέ- δῶν περιεχέσϑω τῶν 4Γ, HZ, 40, AZ, BZ, AE λέγω. ὅτι và ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε xol παραλληλόγραμμα ἐστιν.
Ἐπεὶ γὰρ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΗ, ΓΕ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ 4Γ τέμνεται. αἱ κοιναὶ αὐτῶν το-
Ι 2. ΑΓΒ b. εἰς — ἡμικύκλιον) om. b. ABI AB P. ἡμικύκλιον] Φ B. ἡρμόσϑω P: 8. μὴ μεέξονι — διαμέτρου] om. Bb. — 4B| m. 2 P. 5. τῷ] corr. ex τό m.
1F. τῷ ADB γωνία] om. b. — AT'B] B ins. m. 1 P, B in ras. F. ὑπό] om. b. ὀρϑή — 6. 4 ΓΒ] γωνία ὀρϑή ἐστιν b. 7. τῶν] τῆς b. I'B] supra scr. m. rec. P. ὥστε] om. b. — 4B] 4B ἄρα b. . 8. μεῖξόν ἐστι] ὑπερέχει P.
9. τῇ ] postea ins. V. τὸ ἄρα] ὥστε τό P; τό b. AB] AB ἄφα b, 4B μεῖξόν ἔστι P. 10. μεῖξόν ἐστι] om. P. τῆς] m. 2 F. ἐάν — 18. ποιῆσαι) om. b. 10. Β Γ] corr. ex
ELEMENTORUM LIBER XI. 71
in ea semicireulus describatur ABI, et in semicirculo
A BI' reciaà ΑΓ aptetur (IV, 1] rectae 4/4 aequalis,
quae maior non est diametro 4B, et ducatur I'B. iam quoniam in semicirculo 4 B I positus est |, 4I'B,
rectus erit / .4I'B [HI, 31]. itaque ΧΟ AB! — AI? - ΓΒ5“ |I, 47]. quare erit 483 -:- AI? — ΓΒ", uerum AT
4 B .—. ΑΞ. itaque DB! — 4B* -— AR, ergo si sumpserimus 4 P-— BI, erit X P? — 4 B! -— 458?; quod oportebat fieri.
XXIV.
Si solidum planis parallelis comprehenditur, plana elus inter se opposita aequalia sunt et parallelo- gramma.!)
Nam solidum 1'Z9H planis parallelis comprehen- datur AI, HZ, 40, 42, ΒΖ, AE. dico, plana eius inter se opposita aequalia esse et parallelogramma.
nam quoniam duo plana parallela B H, ΓΕ plano AI' secantur, communes eorum sectiones inter se
1) Haec propositio parum diligenter exposita est; intelli- gitur enim solidum sex planis parallelis comprehensum neque pluribus, et plana, quamquam omnia parallelogramma sunt, non omnia aequalia sunt, sed opposita sola inter se aequalia.
DB V,DT'BBFf. 11. τό] τῷ B. 448 μεῖξον P. 19. μεῖ- fov] om. P. PE P. ὕπερ — 18. ποιῆσαι) om. V.
14. κδ΄ corr. ex κη΄ F. 17. παραλληλόγραμμα] παράλληλα b, mg. m. 1 ye. παραλληλόγραμμα (comp). -γραμμά ἐστι φ, m. 2 add. V. ἐστι Bb. 18. I'46 H] corr. ex ΓΩῊΘ
V, l'4H8 b. 19. ZB BF. 21. παράλληλά b et seq. ras. F. -γραμμά ἐστιν supra m. 2 V. 22. Post ἐπίπεδα ins. ὅμοια m. 9 Ε΄. παράλληλα] supra ras. m. 2 V.
23. τέμνονται V.
6
10
15
20
25
79 ZTOIXEION ια΄. .
μαὶ παράλληλοί εἰσιν. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ 48 τῇ 4Γ. πάλιν, ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΖ, AE ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ 4Γ' τέμνεται, al κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΙ͂' τῇ 44. ἐδείχϑη δὲ καὶ ἡ AB τῇ 4Γ παραλληλος" παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ AI. ὁμοίως δὴ δεί- ἕξομεν, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν 4Z, ZH, ΗΒ, BZ, AE παραλληλόγραμμόν ἐστιν.
᾿Ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 40, 4Z. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν AB τῇ 4Γ, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΓΖ, δύο δὴ αἱ 4B, ΒΘ ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐϑείας τὰς 4I, ΓΖ ἁπτομένας ἀλλήλων εἰσὶν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἴσας ἄρα γωνίας περιέξουσιν" ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ABO γωνία τῇ ὑπὸ 4ΓΖ. καὶ ἐπεὶ δύο αἴ AB, BO δυσὶ ταῖς 4Γ, ΓΖ ἴδαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ABO γωνίᾳ τῇ ὑπὸ 4Γ2Ζ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ 46 βάδει τῇ 42 ἐστιν i69, καὶ τὸ ABO τρίγωνον τῷ 4ΓΖ τριγώνῳ ἴδον ἐστίν. καί ἐστι τοῦ μὲν ABO διπλάσιον τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον, τοῦ δὲ 4ΓΖ διπλάσιον τὸ I'E παραλληλόγραμμον᾽ ἴσον ἄρα τὸ BH παραλληλόγραμμον τῷ ΓΕ παραλληλογράμμῳ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ μὲν ΑΓ τῷ ΗΖ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ 4Ε τῷ ΒΖ.
Ἐὰν ἄρα στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περι- ἔχηται, τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγφαμμά ἐστιν" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
1, εἰσί Vb, comp. F. 2. l'4 B. παραλληλα] om. V. ΒΖ] supra scr. I' b; corr. ex ΒΓ V. 8. τέμνεται) corr. ex τέμνονται b. — 4. εἰσι Vb, comp. F. ΒΓ] corr. ex AI b; B in ras. B. 9. ἐστι παράλληλος Vb. 10. ΖΓ] corr. ex P4 V, D4b. 18. περιέχουσιν BF (in F corr. m. 2). 15. εἰσί Vb,
--.......-- ..
ELEMENTORUM LIBER XI. 13
parallelae sunt [prop. XVI]. itaque 4B rectae ΖΓ parallela est. rursus quoniam duo plana parallela BZ, AE plano A4I' secantur, communes eorum secliones B parallelae sunt. itaque BI'rectae 471 parallela est. sed demonstratum est, A esse eliam .4B rectae Z AI paralelam. itaque AI' parallelogranmum est. similiter demonsira- 4 E bimus, etiam singula 412, ZH, HB, BZ, AE parallelogramma esse. ducantur 440, 472. οὐ quoniam 4B rectae ΖΓ, ΒΘ rectae ΓΖ parallelae sunt, duae rectae 4B, ΒΘ inter se tangentes duabus rectis ΖΓ, ΓΖ inter se iangentibus parallelae sunt non in eodem plano po- sitae. aequales igitur comprehendent angulos [prop. XV]. itaque /, 4 BO — 4ΓΖ. ei quoniam duae rectae 4 B, ΒΘ duabus ΖΓ, ΓΖ aequales sunt [I, 34], et /, 4BO — IZ, erit etiam 40 — 4Ζ, et Δ ABO — 4“1ΓΖ [I, 4]. et BH—24B0, ΓΕ --. 24Γ2Ζ [1], 84]. ita- que BH — ΓΕ. similiter demonstrabimus, esse etiam AI'— HZ, AE — ΒΖ. Ergo si solidum planis parallelis comprehenditur, plana eius inter se opposita aequalia sunt et paral- lelogramma; quod erat demonstrandum.
comp. F. 17. ἴση ἐστί BV b. 18. ἴσον ἐστίν᾽ καί ἐστι) om. F, hab. φ. ἐστίν] ἐστί PBV, comp. b. 20. BH] 9 seq. lac. 4 litt. 21. τῷ ΓῈ παραλληλογράμμῳ] om. F.
29. HZ] mut. in H X b. 24. ἐπιπέδων — 36. δεῖξαι) καὶ τα ἑξῆς Υ. 26. παραλληλόγραμμα] παράλληλα b, corr. mg. m. 1.
ὅ
10
15
20
14 ZTOIXEION ια΄.
,
X6.
Ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ τμηϑῇ παραλλήλῳ ἴντι τοῖς ἀπεναντίον ézi- πέδοις, ἔσται ὡς ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν, ov- τῶς τὸ στερεὸν πρὸς τὸ στερεόν.
Στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ 4ΒΓ 4 ἐπι- πέδῳ τῷ ZH τετμήσϑω παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναν- víov ἐπιπέδοις τοῖς ΡΑ͂, 46: λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΔΕΖΦ βάσις πρὸς τὴν ΕΘΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ABZT στερεὸν πρὸς τὸ EHI'4 στερεόν.
Ἐκβεβλήσϑω γὰρ ἡ 46 ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰ μέρη, καὶ κείσϑωσαν τῇ μὲν AE ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ AK, KA, τῇ δὲ EO ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἴ ΘΜ, MN, καὶ συμπεπληρώσϑω τὰ 40, ΚΦ, ΘΧ, MZ παραλληλό- γραμμα καὶ và 4Π, KP, 4M, MT στερεά. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ AK, ΚΑ, AE εὐϑεῖαι ἀλλήλαις, ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ μὲν 40, ΚΦ, AZ παραλληλόγραμμα ἀλλήλοις, τὰ δὲ KA, KB, AH ἀλλήλοις καὶ ἔτι τὰ AT, ΚΠ, AP ἀλλήλοις" ἀπεναντίον γάρ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ μὲν ΕΓ, OX, ΜΣ παραλληλόγραμμα ἴσα εἰσὶν ἀλλήλοις, τὰ δὲ OH, OI, IN ἴσα εἰσὶν ἀλ- λήλοις, καὶ ἔτι τὰ 210, ΜΩ, NT" τρία ἄρα ἐπίπεδα τῶν AI], KP, AT στερεῶν τρισὶν ἐπιπέδοις ἐστὶν ἴσα. ἀλλὰ τὰ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἐστὶν ἴσα"
1. κε κϑ' F. 2. παράλληλον ἐπίπεδον Fb. 4. οὕτω Β. 6. παράλληλον ἐπίπεδον YF Ὁ. τῷ b. 10. ABZ T] Zin ras. m. 1 B. 14. ΜΟ] in ras. P; corr. ex ΑΘ m. 1 b. 15. AII] 4 cor.ex b. . 4M] M'"4' b | MT)JNTP,MI'b 19. 4Ρ] 4e corr. b. 21. τὰ δέ — ἀλλήλοις] mg. m. 2 euan. F. 6 I] ΘΡ e corr. b. IN] 'I"N, I corr. ex P b. 28. ἐστίν] εἰσίν P. 24. τρι- σίν P. ἐστίν] mut. in εἰσίν b, εἰσίν F.
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 15
XXV.
Si solidum parallelepipedum?) plano secatur planis inter se oppositis parallelo, erit ut basis ad basim, ita solidum ad solidum.
Nam solidum parallelepipedum .4BI'4f secetur plano ΖΗ planis PA, 4/9 parallelo. dico, esse
AEZO:EGTZ — ABZT: EHI A. producatur enim A46 in utramque partem, et po- nantur quotlibet rectae 4 K, K 4 rectae 4E aequales,
T 4 d T
u
|
rectae autem EG aequales quotlibet ΘΜ, MN, et expleantur parallelogramma 40, ΚΦ, 6X, MZ et solida 4Π, KP, 4M, MT. et quoniam 4K — ΚΑ -- AE, erit 40 — ΚΦ — 42, KE — KB — AH?) et praeterea 447 — ΚΠ τ .4P; nam inter se oppo- sita sunt [prop XXIV]. eadem de causa erit etiam ED-—0X—MEZ, 0H—O01—IN, 408—M92 -— NT. itaque solidorum 4Π, KP, A47 tria plana tribus planis aequalia sunt. uerum tria illa plana tribus,
1) Bieut in primo libro (prop. 34) post propositionem prae- cedenti correspondentem sine definitione infertur uocabulum παραλληλόγραμμον, ita. hio παραλληλεπίπεδον usurpatur, nomen per se perspicuum etiam nulla praemissa definitione.
2) Nam et angulos et latera aequalia habent. ergo etiam similia sunt. :
σι
10
15
20
26
16 XZTOIXEISNN ια΄.
τὰ ἄρα τρία στερεὰ và AII, KP, AT ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ τρία στερεὰ τὰ EA, 4M, MT ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν" ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἢ AZ βάσις τῆς 42 βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι. καὶ τὸ ΑΥ̓͂ στερεὸν τοῦ ΑΥ στερεοῦ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΖ βάσις τῆς ZO βάσεως. τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΝΎ στερεὸν τοῦ OTT στε- ρεοῦ. καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ AZ βάσις τῇ, ΝΖ βάσει, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ AT στερεὸν τῷ ΝΥ στερεῷ. καὶ s ὑπερέχει ἡ AZ βάσις τῆς ΝΖ βάσεως. ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΥ̓ στερεὸν τοῦ IN T στερεοῦ, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλ- λείπει. τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν βά- osov τῶν 42, ZO, δύο δὲ στερεῶν τῶν AT, TO, εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆς μὲν 42 βάσεως καὶ τοῦ ΑΥ στερεοῦ ἤ τε AZ, βάσις καὶ τὸ ΑΥ στερεόν, τῆς δὲ ΘΖ βάσεως καὶ τοῦ OT στερεοῦ ἥ τε ΝΖ βάσις καὶ τὸ ΝΥ͂ στερεόν, καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑὕπερ- ἔχει ἡ 42 βάσις τῆς ΖΝ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΥ στερεὸν τοῦ NT [στερεοῦ], καὶ εἰ ἴση, ἴσον, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ AZ βάσις πρὸς τὴν ΖΘ βάσιν, οὕτως τὸ 4T στερεὸν πρὸς τὸ TO στερεόν" ὕπερ ἔδει δεῖξαι. XS.
Πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῇ δοϑείσῃ στερεῷ γωνίᾳ ἴδην στερεὰν γωνίαν συστήσασϑαι.
1, ἄρα] «€ supra m. rec. P; post ras. 2 litt. F. c] e eorr. V. AII] KH F; supra A4 scr. 4 m. 1b. — 2. ἐστέ BV, comp. b, εἰσί τὰ] (alt.) ins. m. ἃ F. 8. ἐστίν] mut. in εἰσίν m. 1 P. 4. AZ] 42 supra scr. 4B m. 1 b. τοσαυταπλασίων b et e corr. F. 7. ἐστι] supra m. , P.
ELEMENTORUM LIBER XI. "ἢ
quae lis opposita sunt, aequalia sunt [prop. XXIV].
ergo 41] — KP-— AT.') eadem de causa erit EZ
— 24M -—MT. itaque quoties multiplex est 4Z basis basis 42, toties multiplex erit etiam solidum AT solidi 4T. eadem de causa quoties multiplex est basis NZ basis ZO, toties multiplex erit etiam soli- dum NT solidi 9T. et & A4Z-— ΝΖ, erit etiam AT — ΝΎ, sin 4Z NZ, erit etiam 4T — ΝΎ, sin autem 44Z « ΝΖ, erit 4T « NT. itaque datis quat- tuor magnitudinibus, duabus basibus 42, ΖΘ et duo- bus solidis 4T, TO sumpta sunt aeque multiplicia basis 42. οὐ solidi 47 basis 42 et solidum 47, basis autem ΘΖ et solidi 9T basis ΝΖ etffsolidum NT, et demonstratum est, si 4Z — ΖΝ, esse eliam ATNT, sin AZ-—ZN, esse 4T — NT, sin aulem 4Z « ZN, esse AT «NT. erit igitur 4Z : Z0 — AT: TO [V def. 5); quod erat demonstrandum.
XXVI. Ad datam rectam et punctum eius angulum soli- dum construere dato angulo solido aequalem.
1) Ex def. 10, quia plana ea comprehendentia etiam si- milia sunt bina simul coniuncta. de trinis u. pag. 75 not. 2. de ceteris ex prop. 94 sequitur, nec opus erat, ut ibi propria demonstratione ostenderetur, quia p. 72, 17 demonstratum est, iriangulos congruentes esse (u. I, 4), h. e. σα τε καὶ ὅμοια.
8. AZ] bis P, corr. m. 1. 9. ἐστί] supra scr. comp. m. 2 F. AT] supra A scr. 4 m. 1 b. 10. NZ] Z in ras. V.
18. τῶν} supra scr. m. 2 B. δέ] corr. ex δή m. 2 V, δή b. τῶν] supra scr. m. 2 B. 15. AZ] corr. ex 4Z m. 1 et
m.2b. 16. OT] EZ, E in ras. P. 18. ZN] ΝΖ BV. 19. στερεοῦ) om. BFYV b. ἴση) ἴσον PF'V et in ras. b. 20. 7] supra scr. m. 1 P. 25. -σὴν e corr. m. rec. V.
18 ZTOIXEIQON ια΄.
Ἔστω ἡ uiv δοϑεῖσα εὐθεῖα ἢ 4B, τὸ δὲ πρὸς αὐτῇ δοθὲν σημεῖον τὸ 4, ἡ δὲ δοθεῖσα στερεὰ γω- νία ἡ πρὸς τῷ 4 περιεχομένη ὑπὸ τῶν ὑπὸ EALI, EAZ, 24Γ γωνιῶν ἐπιπέδων" δεῖ δὴ πρὸς τῇ AB
6 εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ πρὸς τῷ 4 στερεᾷ γωνίᾳ ἴσην στερεὰν γωνίαν συστήσασϑαι.
Εἰλήφϑω γὰρ ἐπὶ τῆς 4Z τυχὸν σημεῖον τὸ Z, καὶ ἤχϑω 'ἀπὸ τοῦ Z ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΕΖ. AT ΄ ἐπί- πεδον κάϑετος ἡ ΖΗ͂, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ
10 κατὰ τὸ H, καὶ ἐπεξζεύχϑω ἡ 4Η, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ 418 εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ A τῇ μὲν ὑπὸ EAT γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ BAA, τῇ δὲ ὑπὸ EAH ἴδη ἡ ὑπὸ ΒΑΚ, καὶ κείσϑω τῇ 4H ἴση ἡ AK, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ K σημείου τῷ διὰ τῶν
15 BA44 ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἡ KO, καὶ κείσϑω ἴση τῇ ΗΖ ἡ ΚΘ, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ Ot λέγω, ὅτι ἢ πρὸς τῷ .4 στερεὰ γωνία περιεχομένη ὑπὸ τῶν B.A 4, Β4Θ, 644 γωνιῶν ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ 4 στερεᾷ γωνίᾳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν EAT, EAZ, 24Γ
90 γωνιῶν.
᾿4πειλήφϑωσαν γὰρ ἴσαι al AB, AE, καὶ ἐπεξεύχ- ϑωσαν αἴ ΘΒ, KB, ΖΕ, ΗΕ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΗ ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ
25 ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιήσει γωνίας" ὀρϑὴ ἄρα
Qx
8. τῷ] mut. in τό m. 1 b. 4. EZZ] Z non liquet in F. ὅ. τῷ 4] τῇ 4P. 9.v0]O0m.P. τῷ ἐπιπέδῳ] supra scr. m. 1 F. 19. δέ) om. F. 14. ΑΚ] K e corr. m. 1 F. 16. ἡ] (tert.) supra m. 2 P. 18. éerív B, corr. m. 2. — Post 4 ras. 1 lit. B. 19. τῇ͵] om. Vbg. ZALTD'|supra scr. m. 2B. 21. af ἴσαι B, corr. m. 2. 32. KB, ΖΕ, HE] ΖΕ" HE" KB' Vb (in H E tertia lineola add. in b); ΖΕ, HE F uel potius y, in ΖΕ uestig. 2 lineolarum.
ELEMENTORUM LIBER XI. 9
Sit data recta 4B et datum eius punctum 4, datus autem angulus solidus is, qui ad 4f positus est angu- lis planis EZI', EZ4Z, ZAT' comprehensus. oportet igitur ad rectam 4B et punctum eius 44 angulum solidum construere solido angulo, qui ad 4) positus est, aequalem.
sumatur enim in 42 punctum aliquod Z, et ἃ Z ad planum rectarum Ei, 2 Γ' perpendicularis ducatur ZH [prop. XI], οὐ cum plano concurrat in H, et du-
catur ΖΗ, et ad rectam 4B et punctum eius 4 con- siruatur ( BJ44 — EAT, LBAK — EAH [I, 23], ei ponatur 4K — 4H, οὐ in puncto K ad planum rectarum B4, 4.4 perpendicularis erigatur ΚΘ [prop. XII], et ponatur ΚΘ — HZ, et ducatur 6.4. dico, angulum solidum, qui ad 44 positus sit angulis B.4 4, B 469, 0 4.4 comprehensus, aequalem esse angulo so- lido, qui ad Z/ positus sit angulis EZATI', EA4Z, ZAT' comprehensus.
abscindantur enim 4B, 71 E inter se aequales, et ducantur ΘΒ, KB, ΖΕ, HE. et quoniam ZH ad pla- num subiacens perpendicularis est, etiam ad omnes rectas eam tangentes et in plano subiacenti positas
80 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ LH4,ZHE γωνιῶν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΘΚΑ͂, ΘΚΒ γωνιῶν ὀρϑή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΑ, AB δύο ταῖς H A, ΖΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρα, καὶ γωνίας ἴσας περι- 5 ἔχουσιν, βάσις ἄρα ἡ KB βάσει τῇ HE ἴση ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΘ τῇ ΗΖ low καὶ γωνίας ὀρϑὰς περιέχουσιν" [og ἄρα καὶ ἡ ΘΒ τῇ ΖΕ. πάλιν ἐπεὶ δύο αἴ 4K, KO δυσὶ ταῖς 4H, HZ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ὀρϑὰς περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ 40 βάσει τῇ 10 Z4 ἴση ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ ἡ AB τῇ AE ἴση" δύο δὴ αἱ 0.4, 48 δύο ταῖς 4Z, 4Ε ἴσαι εἰσίν. καὶ βάσις ἡ ΘΒ βάσει τῇ ΖΕ low γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ B.40 γωνίᾳ τῇ ὑπὸ EAZ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΑ 4 τῇ ὑπὸ Ζ4Γ ἐστιν ἴση [ἐπειδήπερ 15 ἐὰν ἀπολάβωμεν ἴσας τὰς 441, AT καὶ ἐπιξεύξωμεν τὰς ΚΑ, 694, HI', 2Γ, ἐπεὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΒΑ. ὅλῃ τῇ ὑπὸ EAD ἐστιν ἴση, ὧν ἡ ὑπὸ ΒΑΚ τῇ ὑπὸ EAH ὑπόκειται ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΑ 4 λοιπῇ τῇ ὑπὸ HAI' ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΑ, 44 80 δυσὶ ταῖς H4, 4Γ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ἴσας περι- ἔχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΚΑ βάσει τῇ HI ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἢ ΚΘ τῇ ΗΖ ἴση" δύο δὴ αἱ AK, ΚΘ δυσὶ ταῖς ΓΗ, ΗΖ εἰσιν ἴσαι" καὶ γωνίας ὀρϑὰς περιέχουσιν" βάσις ἄρα ἡ 9.4 βάσει τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση. 95 καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΘΑ͂, 44 δυσὶ ταῖς Z4, 4Γ εἰσιν ἴσαι, καὶ βάσις ἡ ΘΑ͂ βάσει τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ 6.44 γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΖΓ ἐστιν ia] ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑ. τῷ ὑπὸ EAT ἴση. Πρὸς ἄρα τῇ δοθείσῃ εὐθεία τῇ 4B καὶ τῷ πρὸς
8. ἐστι V, comp. F b. δύο] (alt.) δνσί Vb. 4. περι- ἔχουσι PVb. | 6. BKB. | HE] E'H"F. éotív] om. Vb.
ELEMENTORUM LIBER XI. 81
reclos angulos efficiet [def. 3]. itaque uterque angulus ZH4,ZHE rectus est. eadem de causa etiam uter- que angulus €9K 4, GKB rectus est. et quoniam duae rectae ΚΑ, 4B duabus HZ, 4E singulae sin- gulis aequales surit, et angulos aequales comprehen-. dunt, erit ΚΒ — HE ΤΊ, 4]. uerum etiam ΚΘ — HZ; ei angulos rectos comprehendunt. itaque ΘΒ —ZE (id.]. rursus quoniam duae rectae 4K, ΚΘ duabus 4H, H Z aequales sunt, et angulos rectos comprehen- dunt, erit 40 — Z4 [id]. uerum etiam 4B - 2 E. itaque duae rectae 6.4, 4B duabus ZZ, 4E aequales suni; et ΘΒ — ΖΕ. itaque [| Β4Θ — EZ [I, 8]. eadem de causa!) erit etiam /, 644 — ZI: uerum erab etiam ( BAA44 — EAT.
Ergo?) ad datam rectam 4B et punctum eius 4
1) Haec uerba (lin. 18 s&eq.) satis ostendunt, ea quae sequuntur lin. 14 —27 genuina esse non posse; huc adcedit, quod totus ille locus perplexiore sententiarum nexu laborat, quam quo utitur Euclides.
2) Simsonus iure uituperauit, quod nusquam demonstratum est, angulos solidos, qui aequalibus angulis planis eodem ordine contineantur, aequales esse. nam hoc quasi axiomate nititur demonstratio Euclidis. saltim ad similitudinem def. 10 definiri debuerunt aequales anguli solidi.
6. ἔστιν PB, comp. b. 7. zsgiégovot Vbg. ἴση) βάσις Vb et g (non F). καί] om. V et g (non F). ΖΕ) ΖΕ ἴση ἐστέ Vb; yo. ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΒ τῇ ZE mg. m. 1 b. 8. εἰσί Vb, comp. F. 9. περιέχουσι Vb et o (non F). 10. Zd] E4 F, 42 Βα fou» B. 11. 4Z, AE] "AZ' ΖΕ, supra alt. Z scr. 4 m. 1 b; litt. 4Z, Z eras. V; Z4, AE B. εἰσί V, comp. Fb. 14, 644] 644, corr. m. 1 b. ZAIT 427 F. 15. 4T] AT, sed corr, Ὁ. 16. KA] AK F. 64] corr. ex ΘΑ Fb. — 20. δυσίν B. εἰσίν] comp. F, εἰσί PVb. περιέχουσιν) BF, περιέχουσι PVbqg. 22. ἔστιν ΕΒ. ΚΘῚ ΘΚ F. AK) e corr. b. 94. περιέχουσι V b. 26. ἴσαι εἰσίν B. 236. ZU] ΓΖ F. γωνία] καὶ γωνέα BFV b. 27. 644] corr. ex €9BA m. 1 b.
Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 6
10
1
cx
20
28
89 ΣΤΟΙΧΕΙ͂ΟΝ ια΄.
αὐτῇ σημείῳ τῷ Α' τῇ δοϑείσῃ στερεᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ 4' i65 συνέσταται' ὅπερ ἔδει ποιῆδαι.
x£'.
“πὸ τῆς δοϑείσης εὐθείας τῷ δοϑέντι στε- ρεῷ παραλληλεπιπέδῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἀνα- γράψαι.
Ἔστω ἡ μὲν δοϑεῖσα εὐθεῖα ἡ 48, τὸ δὲ δοϑὲν στερεον παραλληλεπίπεδον τὸ Γ4' δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς 418 τῷ δοϑέντι στερεῷ παραλ- ληλεπιπέδῳ τῷ I'4 ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἀναγράψαι.
Συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ 418 εὐϑείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ .4 τῇ πρὸς τῷ Γ στερεῷ γωνίᾳ ἴδη q περιεχομένη ὑπὸ τῶν BA4O, OAK, ΚΑΒ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ὑπὸ Β4Θ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΓΖ, τὴν δὲ ὑπὸ BAK τῇ υπὸ EI'H, τὴν δὲ ὑπὸ K AG τῇ ὑπὸ HI'Z: καὶ γεγονέτω ὡς μὲν ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν 4Κ, ὡς δὲ ἡ ΗΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν A40. καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν 46. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΘΒ παραλληλό- γραμμον καὶ τὸ 44 στερεόν.
Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ͂, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν AK, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΓΗ, ΒΑΚ ai πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ HE παραλληλόγραμμον τῷ KB παραλληλο-
2. συνέσταται, ( in ras. V; συνεστάτω q. ποιῆσαι] ") δεῖξαι, mg. ye. ποιῆσαι, m. 1 Vb. 9. κξ΄] m. rec. F. 5. παραῖ- ληλωξπιπ. COrr. in παραλληλοεπιπ. b, qui hane formam lin. 6
ELEMENTORUM LIBER XI. 83
dato angulo solido, qui ad 47 positus est, aequalis angulus constructus est; quod oportebat fieri.
XXVII.
In data recta solidum parallelepipedum construere dato solido parallelepipedo simile et similiter positum.
Sit data recta 4B et datum solidum parallelepi- pedum ΓΖ. oportet igitur in data recta 4B solidum parallelepipedum construere dato solido parallelepipedo I4 simile et similiter positum.
eonstruatur enim ad rectam 4B et punctum eius 4 solido angulo, qui ad Γ᾽ positus est, aequalis angulus angulis 840, 94K, K AB comprehensus, ita αὖ sit L BAO — ΕΓΖ, BAK — EDPH, K A0 — HI'Z [prop. XXVI]. et fiat
ΕΓ: ΓΉΞΞ B4: AK, HI':I'Z— KA: 40. quare etiam ex aequo erit ΕΓ: ΓΖ — B.4: 40 [V, 22]. et expleantur parallelogrammum ΘΒ et solidum 414.
et quoniam οδὺ EI':I'H — Ba4:44K, et latera aequales angulos EI'H, ΒΑΚ comprehendentia pro- portionalia sunt!), erit HE -- K B. eadem de causa
1) H. e. οὐ quoniam aequales sunt anguli, quos latera haec proportionalia comprehendunt". de eo, quod inde con- cluditur, esse ΗΕ c» KB, cfr. uol. II p. 158 not. 2.
praebet. 8. εὐθεῖα) postea add. m. 1 P. 14. γωνίᾳ στερεᾷ V b. 15. vov] τῶν ὑπό Vb. 17. τὴν δὲ] καὶ ἔτι τήν Theon (ΒΕ Wb). 18. ΗΓΖ] litt. Η Τ' e corr. b. τήν] om. F'V b. 19. HI] DH Vb. 21. DE P. ZI P. 22. G B] Pb et corr. ex ΘΓ m. 1 V; B6 B et ut uidetur F (HE). 28. 4.1] in ras. V, 44b. —— 24. ἡ] (prius) supra m. 1 8. τὴν ΓΗ] mg. m. 1 V, I' litt. e corr. b. 26. af] καί comp. b, καί corr. in af V. — Ante ἄρα eras. y m. 1 P. 21. ἐστίν P. KB] litt. B e corr. b. παρ- αλληλογράμῳ P.
6
84 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
γράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΚΘ παραλληλό- γραμμον τῷ ΗΖ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστι καὶ ἔτι τὸ ΖΕ τῷ 0B: τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΓΖ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ 4.4 στε- ὅ ρεοῦ ὅμοιά ἐστιν. ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναν- τίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια ὅλον ἄρα τὸ I'4 στερεὸν ὅλῳ τῷ 4144 στερεῷ ὅμοιόν ἐστιν. "imo τῆς δοθείσης ἄρα εὐϑείας τῆς 41Β τῷ δο- 10 ϑέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ τῷ ΓΩ͂ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον ἀναγέγραπται τὸ 4... ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. κη΄. | "àv στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ 15 τμηϑῇ κατὰ τὰς διαγωνίέους τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων. δίχα τμηϑήσεται τὸ στερεὸν ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου. ᾿ Στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ AB ἐπιπέδῳ τῷ ΓΖΕΖ τετμήσϑω κατὰ τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεν- 20 ἀντίον ἐπιπέδων τὰς ΓΖ, 4 Ε᾿ λέγω, ὅτι δίχα τμηϑή- ὄεται τὸ 48 στερεὸν ὑπὸ τοῦ ΓΖ EZ ἐπιπέδου. ᾿Επεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΓΗΖ τρίγωνον τῷ ΓΖΒ τριγώνῳ, τὸ δὲ AA4E τῷ 4Ε6Θ, ἔστι δὲ καὶ τὸ μὲν I'A παραλληλόγραμμον τῷ EB (cov: ἀπεναντίον οὔ γάρ᾽ τὸ δὲ HE τῷ ΓΘ, καὶ τὸ πρίσμα ἄρα τὸ περι-
1, μέν] mg. m. 1 V. 8. τοῦ] mg. m. 1 V; ante hoc uocab. rep. lin. 2. ὅμοιόν — 8. vov, sed delet. m. 1 Y. 4. τρισίν B. 6. τε] om. P. τὰ δέ — 7. ὅμοια] punctis del. b, del. m. 2B,om.FV. 6.-vqwo(v P. 9. ἄρα δοθεέσις Theon (BF Vb). 12. ποιῆσαι] δεῖξαι PF Vb; yo. ποιῆσαι mg. m. 1b. 18. A8' F. 16. -μη- in ras. m. 1 P. 21. ὑπὸ τοῦ ΓΖ in rae. m. 1 28. DZ'B' Vb. ἔστιν P. καί] καὶ ὡς P. 24. BE F.
ELEMENTORUM LIBER XI. 85
erit etiam K9 — HZ et ΖΕ. ΘΒ. itaque tria par- allelogramma solidi l4 iribus parallelogSrammis solidi A A similia sunt. ue-
rum in utroque so-
Z 4 lido iria parallelo- e gramma iribus,
quae iis opposita
H sunt,aequalia!)sunt
1 4 B et similia. itaque
ΓΖ. 44 [def.9].
Ergo in data recta 4 B dato solido parallelepipedo
I'4 simile et similiter positum constructum est 4 4; quod oportebat fieri.
XXVIII.
Si solidum parallelepipedum secundum diagonales planorum inter se oppositorum plano secatur, solidum plano in duas partes aequales secabitur.
p 7 Nam solidum parallelepipedum A4 B plano ΓΖ EZ secundum dia- e gonales planorum ΓΖ, 4 E inter Ἢ 86 oppositorum secetur. dico, so- ^ lidum 4B plano ΓΖ EZ in duas
4 4 partes aequales secari.
Quoniam enm ΓΗΖ -- ΓΖΒ οὐ 44E-—— AEG [I, 34], οὐ praeterea I'4 — ΒΕ (nam inter se oppo- sita sunt) οὐ ΗΕ — ΓΘ [prop. XXIV], prisma duobus
1) Ex prop. XXIV. cur eadem similia sint, supra dictum est p. 77 not. hoc solo utitur; nam ut adhibeatur def 9, satis est demonstrare, duo solida omnibus planis similibus contineri.
86 ZTOIXEION ια΄.
ἐχόμενον ὑπὸ δύο uiv τριγώνων τῶν l'HZ, 44Ε, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν HE, AI', ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τρι- γώνων τῶν ΓΖΒ,. 4 ΕΘ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων
ὅ τῶν ΓΘ, ΒΕ, ΓΕ" ὑπὸ γὰρ ἴσων ἐπιπέδων περιέχον- ται τῷ τε πλήϑει καὶ τῷ μεγέϑει. ὥστε ὅλον τὸ AB στερεὸν δίχα τέτμηται ὑπὸ τοῦ ΓΖ ΕΖ ἐπιπέδου" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
κϑ'.
10 Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παρ- αλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν at ἐφεστῶσαι ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
Ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς 4B στερεὰ πὰρ-
15 αλληλεπίπεδα τὰ ΓΜ, ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἵ ἐφεστῶσαι αἱ AH, AZ, AM, AN, ΓΖ, ΓΕ, ΒΘ, BK ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν ἔστωσαν τῶν ΖΝ, 4 Κ᾿ λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ I'M στερεὸν τῷ ΓΝ στερεῷ.
Ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν
80 ΓΘ, ΓΚ, ἴση ἐστὶν ἢ ΓΒ ἑκατέρᾳ τῶν 40, EK: ὥστε καὶ ἡ 4Θ τῇ ΕΚ ἐστιν ἴση. κοινὴ ἀφῃρήσϑω ἢ ΕΘ' λοιπὴ ἄρα ἡ 4Ε λοιπῇ τῇ OK ἐστιν ἴση. ὥστε καὶ τὸ μὲν ΦΙΓΕ τρίγωνον τῷ OBK τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, τὸ δὲ AH παραλληλόγραμμον τῷ ΘΝ
25 παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ 4Z H τρί- yovov τῷ MAN τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ
1. τέμνεται BF. 9. Ay' F. 15. ὑπό] 9- e corr. m. 2 Ὁ. 16. AH] e corr. b, AZ BFV. — AZ] AH BF et ecor. V. 90. DB] BF. 23. OBK] 8B"K" F, GKB
ELEMENTORUM LIBER XI. 81
triangulis ΓΗ͂Ζ, 44Ε et tribus parallelogrammis HE, 4Γ, l'Ecomprehensum prismati duobus triangulis IZB, 4 EO ei iribus parallelogrammis ΓΘ, BE, ΓΕ eomprehenso aequale est; nam planis et numero et magnitudine aequalibus comprehenduntur (def. 10].*) . quare totum solidum 4B plano ΓΖ EZ in duas par- les aequales sectum est; quod erat demonstrandum.
XXIX.
Solida parallelepipeda in eadem basi collocata et eandem altitudinem habentia, quorum rectae eminentes in iisdem rectis sint, inter se aequalia sunt.
In eadem basi 4B solida parallelepipeda I'M, ΓΝ collocata sint eandem alti- tudinem habentia, quorum Z y rectae eminentes ΑΗ, 42, AM, AN, ΓΖ, I E, ΒΘ, BK in iisdem sint rectis ΖΝ, 4K. dico, esse I'M —IN.
Nam quoniam utrumque ΓΘ, ΓΚ parallelogram- mum est, erit ΓΒ utrique 760, EK aequalis (I, 34]. quare etiam 2/60 — EK. auferatur, quae communis est, EO. itaque 4 — ΘΚ. quare etiam
ATE —0BK [I, 4] et 4H — ΘΝ [I, 36]. eadem de causa erit etiam 4ZH — MAN. uerum
4 E e
A
1) Cum hic nihil ad rem pertineat, quod parallelogramma, quae solida comprehendunt, et ipsa solida eadem similia sunt, parte sola definitionis 10 usus est Euclides.
e corr. V. 24. ἐστί PB, comp. Fb. ἐστίν, τό] ἐστι τό, corr. ex ἐστινοῦ. 25. AZH] AHZ BF.
τϑ8 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
10
15
20
2b
τὸ μὲν ΓΖ παραλληλόγραμμον τῷ BM παραλληλο- γράμμῳ ἴσον, τὸ δὲ ΓΗ τῷ ΒΝ' ἀπεναντίον yaQ: καὶ τὸ πρίσμα ἄρα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τρι- γώνων τῶν AZH, 4ΓΕ, τριῶν δὲ παραλληλογραάμ- μῶν τῶν 44d, 4H, ΓΗ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο. μὲν τριγώνων τῶν MAN, 6BK, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν BM, ON, ΒΝ. κοινὸν προσκείσϑω τὸ στερεὸν, οὗ βάσις μὲν τὸ 4B παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ HEGM* ὕλον ἄρα τὸ ΓΜ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ὅλῳ τῷ ΓΝ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον ἐστίν.
Τὰ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παρ- αλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
λ΄.
Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παρ- αλληλεπέπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν al ἐφ- ἑστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν. ἴσα ἀλλήλοις ἐστέν.
Ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς 4B στερεὰ παρ- αλληλεπίπεδα τὰ ΓΜ, ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἵ ἐφεστῶσαι αἴ 42. AH, AM, AN, I4, ΓΕ, BO, BK μὴ ἔστωσαν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν" λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ I'M στερεὸν τῷ ΓΝ στερεῷ.
᾿Εκβεβλήσϑωσαν γὰρ αἱ NK, 40 καὶ συμπιπτέ-
2. có] corr. ex τῷ m. 1 F. 8. μὲν ὑπὸ δύο Vb. 4. ATE| 4ΕΤ' B. 5. ΓΗ] HI' V, et sapra Scr. m. corr. in ΓΗ m. 9 b. 6. MAN] N e corr. 7. zs]
sustulit macula in V, supra est à add. » m. 2. ΘΝ] Ne BF et ecor. V. 9. τὸ HEO M] mg. (addito yq.) b; in textu
ELEMENTORUM LIBER XI. 89
eliam ΓΖ — ΒΜ, ΓΗ — BN [prop. XXIV]; nam inter se opposita sunt. itaque etiam prisma duobus irian- guls 4ZH, ΖΓΕ οὐ tribus parallelogrammis 4 Zl, ΖΗ, ΓΗ comprehensum prismati duobus triangulis MAN, €BK et iribus parallelogrammis BM, ΘΝ, BN comprehenso aequale esi. commune adiiciatur solidum, cuius basis est 4B paralleloprammum, ei aulem oppositum H EOM. itaque I'M —I'N.
Ergo solida parallelepipeda in eadem basi collo- cata et eandem altitudinem habentia, quorum rectae eminentes in lisdem rectis sint, inter se aequalia suni; quod erat demonstrandum.
XXX.
Solida parallelepipeda in eadem basi collocata et eandem altitudinem haben- tia, quorum rectae emi- nentes in iisdem rectis non sint, inter se aequalia sunt.
In eadem basi 4B so- lida sint parallelepipeda I'M,I'N eandem altitudi- nem habentia, quorum rec- iae eminentes 42, 44H, AM, AN, ΓΖ, ΓΕ, ΒΘ, BK in iisdem rectis non sint. dico, esse ΓΜ — ΓΝ.
produeantur enim ΝΑ, 41Θ et inter se concurrant
ras. est. 10. στερε- in ras. m. 1 B. 11. PN] N e corr. F. ἐστί V, comp. Fb. 16. 17 oin. p. . 21. ἔστωσαν BF V. παράλληλα ἐπίπεδα F. 22. af] supra scr. m. rec. P.
26. NK] N e corr. m. 2 b.
1
90 ZTOIXEISN ια΄.
τωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ P, xol ἔτι ἐκβεβλήσϑωσαν αἱ ΖΜ, HE ἐπὶ τὰ Ο, II, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ AB, 40, ΓΠ, ΒΡ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΓΜ στερεόν, ov βάσις μὲν τὸ ΑΓΒ. παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ 5 ΖΩΘΜ, τῷ ΓΟ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΑ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ἢ ΠΡΟ᾽ ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς 4ΓΒ 4 καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἵ ἐφεστῶσαι αἱ 4Z, AE, AM, 40, ΓΖ, IH, ΒΘ, BP ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ZO, 10 ΖΡ, ἀλλὰ τὲ ΓΟ στερεόν, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΓΒ 4 παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ SIIPO, ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΝ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ 4ΓΒΑ͂ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΗΕΚΝ' ἐπί τε γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς 4ΓΒ. καὶ 15 ὑπὸ τὸ αὐτο ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ AH, AR, ΓΕ, ΓΠ, AN, 40, BK, BP ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν HII, ΝΡ. ὥστε καὶ τὸ I'M στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ I'N στερεῶ. Τὰ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως στερεὰ παραλληλ- 40 ἐπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐϑειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
8. ἐστιν P. 6. Z46 M] 4 e corr. b, Z4M8 F5, sed MO euan.; corr. in mg. Pro τὸ Z9 M in B est τὸ ΠΡΟ, sed del. τὸ Z460 M — 6. SIIPO] mg. m. rec. B. 5. AB B. 6.«e] eras. V. — 7. ἐστι comp. V. ΑΓΒ.) 4 e corr., supra scr. 4 m. 1 b. καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος] August; om. Pg; καί BV b. 8. óv] om. 9; αὐτῶν B et corr. ex αὐτῶν ὧν m. 2 V; αὐτῶν ὧν b. AZ] corr. ex A/S m. 2 V.
9. ΓΠῚ TII, sed T e corr. m. ἃ b; ΓΕ P, sed corr. m. 9 euan. 10. μέν] om. B, supra add. postea m. 1F. ἐστι] om. F' V b. 11. AI'BA] Din ras. m. 2 B. SII"OP' V, EIIP' O' b. 12. μέν] om. P. μὲν τὸ AI'BA] om. g. 18. ἐπί] corr.
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 91
in P, et praeterea producantur ZM, HE ad O, Π, et ducantur 4X, 40, ΓΠ, BP. itaque solidum I'M, eulus basis est parallelogrammum ΑΓΒΛ, ei autem oppositum Z 4/0 M, aequale est solido I'O, cuius basis est parallelogrammum AI'BA, ei autem oppositum AIIPO; nam in eadem basi sunt A4I'B.4 et sub eadem altitudine, οὐ rectae eorum eminentes 4Z, 45, 4M, 40, ΓΖ, ΓΙ, ΒΘ, BP in iisdem rectis sunt ZO, 4 P [prop. XXIX]. sed solidum ΓΟ, cuius basis est parallelogrammum ΑΓΒ A, ei autem oppositum αἰ ΠΡΟ, aequale est solido I'N, cuius basis est parallelogram- mum 4ΓΒ A4, ei autem oppositum H EK N; nam rursus in eadem basi sunt 4I'B.4 et sub eadem altitudine, et rectae eorum eminentes 4H, ΑΞ, ΓΕ, I'II, AN, 440, BK, BP in iisdem rectis sunt HII, N P [id]. quare erit I'M — I'N.
Ergo solida parallelepipeda in eadem basi collocata οὐ eandem altitudinem habentia, quorum rectae emi- nentes in iisdem rectis non sint, inter se aequalia sunt; quod erat demonstrandum.
ex éxe( V. 14. πάλιν] om. ΒΕ, καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος] August; om. PF; καί BVb. 16. ὧν] αὐτῶν B et corr. ex αὐτῶν ὧν V; αὐτὸ ὧν b. 16. ΓΠΊ e corr. m, 2V, Γ΄ Π’ b. AN] N e corr. m, 2 V. 19. τῆς αὐτῆς βάσεως στερεα] P; τ. a. f. ὄντα στερεά in ras. V, τῆς αὐτῆς βάσεως b; ἴσων βάσεων στερεά BF οὗ mg. Vb m. 1. 20. αἴ] καί P, supra scr. of m. 2.
921. αὐτῶν] om. F. — £aevív] εἰσίν BF.
σι
10
15
92 ZTOIXEISN ια΄. λα΄.
Τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλ- ἐπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
Ἔστω ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν 48. ΓΖ στερεὰ παρ- αλληλεπίπεδα và AE, ΓΖ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος. λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ AE στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ.
Ἔστωσαν δὴ πρότερον αἴ ἐφεστηκυῖαι αἴ ΘΚ, BE, AH, AM, OIl, AZ, ΓΗ͂, ΡΣ πρὸς ὀρϑὰς ταῖς AB, I'4 βάσεσιν, καὶ ἐκβεβλήσϑω ἐπ’ εὐθείας τῇ IP εὐθεῖα ἡ PT, καὶ συνεστάτω πρὸς vij PT εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ρ τῇ ὑπὸ 4.48 γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ TPT, καὶ κείσϑω τῇ μὲν 4A ἴση ἡ PT, τῇ δὲ AB ἴση ἡ PT, καὶ συμπεπληρώσϑω ἥ τε PX βά- σις καὶ τὸ ΨΥ στερεόν. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ TP, PT δυσὶ ταῖς 4.4, AB ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ἴσας περι- ἔχουσιν, ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον τὸ PX παραλληλόγραμ- μὸν τῷ ΘΑ͂ παραλληλογράμμῳ. καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση
»ν ἡ 44 τῇ PT, ἡ δὲ AM τῇ ΡΣ, καὶ γωνίας
ϑὰς περιέχουσιν, ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΡΨ
ραλληλόγραμμον τῷ 44 Μ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ τὰ δὴ καὶ τὸ 4Ε τῷ ΣῪ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον"
'm ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ 4E στερεοῦ τρισὶ
ραλληλογράμμοις τοῦ "PT στερεοῦ ἴσα τέ ἐστι καὶ
ow. ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα
1.ia']om.g. ὅ, 48] Α ecom.b. . 7. AE] E e corr. b. 9. PZ] Zecom. B. zaü]ecor.m 2B. 48] 4e r.b. 10. βάσεσι Vb — Dein add. B: ἡ δὲ ὑπὸ 4418 τῇ )ΓΡΩ ἄνισος. τῇ] τῆς Fb. 13. 44B] A e corr. m. 2 Ὁ. 18. 44] corr. ex H4 et m. 1 e& m. 2 b. 14. BA F. A44] ut lin 18 b. εἰσί BVb, comp. F. 18.604] 0e T. b; 40 F, et V, corr. ex 84. 19. μὲν ἡ] ἡ μέν B.
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 93
XXXI.!)
Solida parallelepipeda in aequalibus basibus collo- cata et eandem altitudinem habentia inter se aequalia sunt.
Solida parallelepipeda 4 E, ΓΖ in aequalibus ba- sibus 4B, I'Z collocata eandem altitudinem habeant. dico, esse 4E — ΓΖ.
lam prius rectae eminentes OK, BE, AH, AM, ΟΠ, 4Z, ΓΞ, ΡΣ ad bases 4B, I4! perpendiculares sint, et recta I'P in directum producatur, ut fiat PT, el ad rectam PT et punctum eius P angulo 44B aequalis construatur [, TP T [I, 23], et ponatur PT — 44, PT — AB, et expleantur basis PX et solidum ΨΥ. et quoniam duae rectae TP, PT duabus 4 4, A4 B aequales sunt, et angulos aequales comprehendunt, parallelogrammum PX parallelogrammo 6 4 et aequale et simile est [VI, 14]. et rursus quoniam 4 4 — PT, AM — PZ, et rectos angulos comprehendfnt, paral- lelogrammum PI parallelogrammo 44M aequale et simile est [id.] eadem de causa etiam ^E parallelo- grammo ΣῪ et aequale et simile est. itaque iria parallelogramma solidi 4E iribus parallelogrammis solidi ΨΥ et aequalia et similia sunt. uerum in utro-
1) Prior gura huius propositionis ita prorsus descripta est, αὐ in cod. P inuenitur, in quo in mg. add. m. 1: ye. ἐν ἄλλοις ,Ὑ (id quod ad litt. siue compendium ὅ referendum est),
nisi quod solidum 4E ibi non satis adcurate descriptum hic emendatum est.
44] 4 e cor. b. 21. AM] A e corr. b. 22. Z T] T' in rae. B. 923. τὰ veía F. 24. ἔστιν P. . 92b. μὲν] supra scr. F et m. 9 B. ὑπεναντίον F. — Ante ἴσα in b τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ὑπεναντίον (v corr. in « m. 1) del. m. 9.
10
94 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
τέ ἐστι καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον" ὅλον ἄρα τὸ 41 στερεὸν παραλληλεπίπεδον ὅλῳ τῷ JT στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον ἐστίν. διήχϑωσαν αἱ 4Ρ, ΧΥ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ 2. καὶ διὰ τοῦ T τῇ 4 παράλληλος ἤχϑω ἡ α TOS, καὶ ἐκβεβλήσϑω ἡ Oz κατὰ τὸ κα, καὶ συμπεπληρώσϑω τὰ ΩΨ, PI στερεά. ἴσον δή ἐστι τὸ "UO, στερεόν, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον, ἀπεν- αντίον δὲ τὸ 9q, τῷ ΨΥ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΨ) παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ Tdv ἐπέ τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς PU καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν al ἐφεστῶσαι αἱ P, PT, Τῷ. TX, Ee, 20, "iq, ΨΦ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν $,X, c. ἀλλὰ τὸ ΨΥ στερεὸν τῷ AE ἐστιν ἴσον"
1. τὰ δὲ τρία — ἀπεναντίον] om. BFVb. 2. στερεόν] bis P, alterum del. m. 1, sed renou. z. 8. ἐστί PBV, comp. Fb. 4. AP] e corr. V. 6. 49] 4 ecorr. V. ,« T3] EA post ras. 1 litt. FV, τ P eras. 9), Je b , τῷ s E
9. 6: ,«] corr. ex i m. 2b. 9. oq B, eras. q; ὥς corr. m. 2. 10. Υ 4] ὁ eorr. m. 2 b. 11. εἰσι} comp. in ras. V, corr. ex ἐστι b; εἶσιν B. 19. ὧν] PF Vb, xol αὐτῶν B; yo. καὶ αὐτῶν καί (comp.) mg. b m. 1. aí] ἌΝ om. B.
T9] Ὁ in ras. ΕΝ, e corr. m. 2b. TX] in ras. V, ras. 4 litt. b. 18, Zs] in ras. V, o£ F. ΣΟ] co P; og F, gupra ΒΟΥ. σῃ m. 1; oy in ras. V et corr. ex ἐγ B; oy "b (y e corr.).
To 3 e corr. b, 14. τῷ] post ras. 1 litt. b; corr. ex 10 m. 1
ELEMENTORUM LIBER XI. 95
que solido tria parallelogramma tribus, quae iis oppo- sila sunt, et aequalia et similia sunt [p. 77 not. 1]. ilaque totum solidum parallelepipedum AE toli so- lido parallelepipedo *J/T aequale est [def. 10]. edu-
cantur Z4P, X7 ei inter se concurrant in “ὦ, et per T' rectae “33 parallela ducatur ,« TON, et producatur ΟΖ ad κα, et expleantur solida $237, PI. itaque solidum "U^52, cuius basis est P I^ parallelogrammum, ei autem oppositum δ. solido ΨΥ, cuius basis est P^ par- allelogrammum, ei autem oppositum Ὁ᾽ ὦ, aequale est; nam ei in eadem basi sunt P et sub eadem altitudine, et rectae eorum eminentes P9, PT, TOS, TX, Σς, Z0, ψι, "7d in iisdem rectis sunt $2 X, ς [prop. XXIX].
96 ZTOIXEI9SN ια΄.
καὶ τὸ ΨΩ ἄρα στερεὸν τῷ 4E στερεῷ ἐστιν ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ PTXT παραλληλόγραμμον τῷ £T παραλληλογράμμῳ᾽ ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς PTT καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς PT, 5 9X: ἀλλὰ τὸ ΡΥΧΤ τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ τῷ AB, καὶ τὸ ΦΤ' ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον. ἄλλο δὲ τὸ AT" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΖ βάσις πρὸς τὴν 4 T, οὕτως ἡ ΦΤ' πρὸς τὴν 4T. καὶ ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΙ ἐπιπέδῳ τῷ ΡΖ 10 τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ὡς ἡ L4 βάσις πρὸς τὴν 4T βάσιν, οὕτως τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ στερεόν. διὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ 421 ἐπιπέδῳ τῷ ΡΨ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπι- 15 πέδοις, ἔστιν ὡς ἡ Φ1Τ βάσις πρὸς τὴν T4 βάσιν, οὕτως τὸ Φ. ΔΨ στερεὸν πρὸς τὸ PI. ἀλλ᾽’ ὡς ἡ ΓΖ, βάσις πρὸς τὴν 4 T, οὕτως ἡ £2 T πρὸς τὴν Z4 T* καὶ ὡς ἄρα τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ στερεόν, οὕτως τὸ 2. Ψ' στερεὸν πρὸς τὸ PI. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΓΖ, 20 $27 στερεῶν πρὸς τὸ PI τὲν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἴδον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΖ στερεὸν τῷ 9, στερεῷ. ἀλλὰ τὸ Q3 τῷ AE ἐδείχϑη ἴσον" καὶ τὸ AE ἄρα τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον. Μὴ ἔστωσαν δὴ ai ἐφεστηκυῖαι αἴ 4Η, ΘΚ, BE, 95 4M, ΓΝ, ΟΠ, 4Z, ΡΣ προς ὀρϑὰς ταῖς AB, I4 βάσεσιν. λέγω πάλιν, ὅτε ἴσον τὸ AE στερεὸν τῷ
2. ΡΥΧΤΊῚ T e corr. b. 4. εἰσιν B. PT] (prius) PI^ B.
6. ἴσον ἐστίν BF. 6. 4B] 4ecorr. m. 1b. 7] Τ 6 corr m. 2 P. ἄρα] supra scr. m. rec. B. 7. 4] 4Γ F; "A'D Vb. 11. οὕτω PB. 12. τό] (alt) e corr. F. 18. Q1] I add. m. 2 b. 15. T4] T e corr. m. 2P. 16. οὕτω B. ἀλλ᾽ ὡς — 19. PI] om. F. | 17. 9T βάσις P. — AT] in ras. V;
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 9"
uerum /T — AE. ilaque etiam 37, — 4E. et quo- niam ΡΥΧΤ — £T (nam et in eadem basi sunt PT et in iisdem parallelis PT, X [I, 35]), sed PPXT --- ΓΖ, quoniam PT"X T — 48, erit etiam 9T — ΓΖ. aliud autem quoduis est Z1 T. itaque ΓΖ: 4T — 9T : ΔΤ [V, T]. et quoniam solidum parallelepipedum I'I secum est plano ΡΖ parallelo planis oppositis, ert D4:4T-IZ:PI [prop XXV]. iam eadem de causa, quoniam solidum parallelepipedum (1 sectum est plano P I^ parallelo planis oppositis, erit $2 T' : T4 z 0p: PI[id]. sed I: 4 T—£€, T: 4T. quare etiam I'Z: PI —2:PI. itaque utrumque solidum IZ, (937 ad PI eandem rationem habet. quare ΓΖ -- € S (V,9]. uerum demonstratum est, esse (ὦ I7 — 4 E. quare etiam AE — ΓΖ. iam rectae eminentes 4H, ΘΚ, BE, AM, ΓΝ,
I P
Oll, 4Z, ΡΣ ad bases 4B, ΓΩ͂ perpendiculares ne sint. rursus dico, esse 4E — ΓΖ. ducantur enim ἃ
TAB;"T'4b. 19.PI] Ieuan. V. Dein add. στερεόν Theon (BFVb). 20. στερεόν B, corr. m. rec. λόγον ἔχει B
21. ἐστίν P. τὸ] (alt.) mut. in τῷ b; τῷ BV. 22. 9 V] £ ecorr b. τῷ] mut. in τό Ὁ, τό BV; οὕτως ἐν ἄλλῳ mg. m.*1 Vb. 23. ἴσον ἐστόν Vb. ^ Dein add. ὅπερ ἔδει δεῖξαι PF V b. 25. ΓΝῚ N in ras. V. 26. βάσεσι b et supra scr. m. 2 V. ἴσον ἐστί Theon (ΒΕ Ὁ).
Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. (i
10
15
20
2b
08 ZTOIXEIQS9N ,α΄.
ΓΖ στερεῷ. ἤχϑωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν K, E, H, M, Il, Z, Ν, Σ σημείων ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάϑετοι αἱ KE, ET, HT, Μῷ, ΠΧ, ZW, NO, Zl, καὶ συμβαλλέτωσαν τῷ ἐπιπέδῳ κατα và A, T, T, 0, X, Ψ, 9, I σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἴ ET, ET, TO, Τῷ, χψΨ, XQ, QI, IU. ἴσον δή ἐστι τὸ ΚΦ στερεὸν τῷ III στερεῷ" ἐπί τε γὰρ ἴσων
βάσεών εἰσι τῶν ΚΜ, ΠΣ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος,
ὧν αἱ ἐφεστῶσαι πρὸς ὀρϑάς εἰσι ταῖς βάσεσιν. ἀλλὰ τὸ μὲν ΚΦ στερεὸν τῷ AE στερεῷ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ III τῷ DZ ἐπί ve γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὔκ εἰσιν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν. καὶ τὸ AE ἄρα στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ ἐστιν ἴδον.
Τὰ ἄρα ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλ- ἐπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν" ὕπερ ἔδει δεῖξαι.
λβ΄.
Τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλ- ληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς al βάδεις.
Ἔστω ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος στερεὰ παραλληλεπίπεδα τα AB, IZ: λέγω, ὅτι τὰ AB, ΓΖ στερεα παραλληλ- ἐπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις, τουτέστιν ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ AE βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ AB στερεὸν προς vo ΓΖ στερεόν.
2. ΠῚ e corr. b. NN] in ras. V. 3. K SN] KZ F; S in ras. V. II X] II in ras. m. 1 P. ΝΑῚ] N 1n ras.
4. ΣΎ P. συμβαλέτωσαν V. A] in ras. V. T, T V. 5. σημείωι B, ὦ inras. 6. ET] X inras. V. X*4T]|&E ras V; TO F. TO] TF. IV]|QUWb 7.K4]ecorr. V. 8. ΠΣῚ corr. ex ITE m. 1 b. ὑπό] ἐπί b; corr. mg. m. 1. 9. εἰσιν B. 11. εἰσιν P. 19. ὑπό .
ELEMENTORUM LIBER XI. 09
punctis K, E, H, M, II, Z, N, Σ ad planum subia- cens perpendieulares K 3, ET, HT, MO, ΠΧ, Z V, N&, ZI, οὐ cum plano in punctis κα, T, T, 6, X, q^, £2), I concurrant, et ducantur 5 T, 57, T6, T6, X'D, XO, QI, I*V. iam erit KD — III; nam in aequalibus basibus sunt K M, ΠΣ et .sub eadem alti- ludine, et rectae eorum eminentes ad bases perpen- diculares sunt [per priorem partem huius prop.]. uerum KO — AE, III — ΓΖ: nam οὖ in eadem basi sunt et sub eadem altitudine, et rectae eorum eminentes in iisdem rectis non sunt [prop. XXX] itaque etiam A E — ΓΖ.
Ergo solida parallelepipeda in aequalibus basibus collocata et eandem altitudinem habentia inter se aequalia suni; quod erat demonstrandum.
XXXII. Solida parallelepipeda, quae eandem habent alti tudinem, inter se eandem rationem habent quam bases.
B 4 K A T e
Solida parallelepipeda 4B, I'71 eandem altitudinem habeant. dico, solida parallelepipeda 4B, ΓΖ ean- dem inter se rationem habere quam bases, hoc est, esse AE: ΓΖ-- 438: ΓΖ.
m. 1. 18. στερεὸν ἄρα Ὁ. 14. ἴσον ἐστίν b. 18. 1β om. g. 19. παραλληλοεπίπεδα, eras. o, V; item lin. 22. 21. παδαλληλοεπίπεδα V, ut p. 100, 8, 6. 28. ἐστίν] om. g. βάσις] om. FV. 26, στερεόν] (prius) om. V. ΝΞΟ j*
10
15
20
2
σι
100 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
Παραβεβλήσϑω γὰρ παρὰ την ZH τῷ AE ἴσον τὸ ΖΘ, καὶ ἀπὸ βάσεως μὲν τῆς ZO, ὕψους δὲ τοῦ αὐτοῦ τῷ Γ4 στερεὸν παραλληλεπίπεδον συμπεπλη- ρώσϑω το ΗΚ. ἴσον δή ἐστι τὸ AB στερεον τῷ HK στερεῷ" ἐπί τε yao ἴσων βάσεών εἰσι vóv AE, ZO καὶ ὑπὸ τὸ αὐτο ὕψος. καὶ ἐπεὶ στερεὸν παραλληλ- ἐπίπεδον τὸ ΓΚ ἐπιπέδῳ τῷ 4H τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις. ἔστιν ἄρα og ἡ ΓΖ βάσις πρὸς την ZO βάσιν, οὕτως vro ΓΩ͂ στερεὸν πρὸς τὸ 40 στερεόν. ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΘ βάσις τῇ AE βάσει, τὸ δὲ HK στερεὸν τῷ AB στερεῷ" ἔστεν ἄρα καὶ ὡς ἡ 4Ε βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ 41 στερεὸν πρὸς τὸ ΓΖ στερεόν.
Τὰ ἄρα ὑπο τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλ- ἐπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἵ βάσεις" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
λγ΄.
Τὰ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλ- ληλα ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
Ἔστω ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ AB, ΓΖ, ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ AE τῇ DZ λέγω. ὅτι vo AB στερεὸν πρὸς τὸ ΓΙ 4 στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἥπερ ἡ 4E πρὸς τὴν ΓΖ.
᾿Εκβεβλήσϑωσαν γὰρ ἐπ᾽ εὐθείας ταῖς 4E, HE, OE αἱ EK, EA, EM, καὶ κείσϑω τῇ μὲν ΓΖ ἴση ἡ EK, τῇ δὲ ΖΝ lon ἡ EA, καὶ ἔτι τῇ ZP ἴση ἡ EM, καὶ συμπεπληρώσϑω ro Καὶ 4 παραλληλόγραμμον καὶ το ΚΟ στερεόν.
8. τῷ] τό post ins, euan. F; supra scr. V. xdi cvyus. b. 4 ἐστιν P. ὄὅ. τε] om. b. εἰσι] ἐστε B, om. F V.
*-- LÀ
ELEMENTORUM LIBER XI. 101
nam rectae ZH parallelogrammo 4E aequale ad- plicetur ΖΘ [I, 45], et in ZO basi, altitudine autem eadem, qua Γ΄ Ζ,, solidum parallelepipedum expleatur HK. erit igitur 4B — HK; nam et in aequalibus basibus sunt 4 E, ΖΘ et sub eadem altitudine [prop. XXXI]. et quoniam solidum parallelepipedum ΓΚ sectum est plano ΖΗ parallelo planis oppositis, erit
I'Z: Z0 --Ξ ΓΖ: 4Θ [prop. XXV]. uerum ΖΘ — 4E et HK — AB. erit igitur AE:DIZ-—2A4B:IA.
Ergo solida parallelepipeda, quae eandem habent altitudinem, inter se eandem rationem habent quam bases; quod erat demonstrandum.
XXXIII. Similia solida parallelepipeda triplicatam inter se rationem habent quam latera correspondentia. Similia sint solida parallelepipeda 4B, ΓΖ, et A E lateri ΓΖ correspondens. dico, esse 48: ΓΖ4-- 4Ε5: ΓΖ5. producantur enim in directum AE, p HE, OE, ut fianüi EK, EA, EM, et ponatur 4 EK —IZ, EA—ZN, EM — ZP, et expleantur parallelogrammum Καὶ 4 et solidum KO.
8. ἄρα] om. ΕΥ̓͂, — l'Z] P; "'Z b; GZ BFV. 9.26] Pb; DZB; ΖΙ etinras V. οὕτω B. ΓΖ] P, "DA" b; Θά BFV. 10.40]P,'40 b; JTBFV. 12. IZ) Z in ras. F.
14. παραλληλοεπίπεδα V. 15. ἐστιν] εἰσιν F 17. 1γ om. g. 18. παραλληλοεπέπεδα V, ut lin. 91. 19. εἰσίν B. 22. AE| corr. ex AE m. 2 P. 25. ταῖς] τῆς b. 26. af] supra m. 2 B; εὐϑεῖαι of TV. EM) M corr. ex N m. 1 F. 21. ἔτι] om. g. 29. KO] in ras. B; O in ras. m. 1 P.
10
16
20
102 ZTOIXEIQN ια΄.
Καὶ ἐπεὶ δύο αἱ KE, EA δυσὶ ταῖς ΓΖ, ΖΝ ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ KEA γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΖΝ ἐστιν ἴση, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ὑπὸ AEH τῇ ὑπὸ ΓΖΝ ἐστιν ἴση διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν AB, LA στερεῶν, ἴσον ἄρα ἐστὶ [καὶ ὅμοιον] τὸ K 4 παραλλὴλό- γραμμον τῷ ΓΝ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν KM παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ καὶ ὅμοιον τῷ ΓΡ [παραλληλογράμμῳ] καὶ ἔτι τὸ ΕΟ τῷ 4Ζ᾽ τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΚΟ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΓΩ͂ στερεοῦ ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια. ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια" ὅλον ἄρα τὸ ΚΟ στερεὸν ὅλῳ τῷ ΓΖ στερεῷ ἴσον ἐστὶ καὶ ὅμοιον. συμπεπληρώσϑω τὸ ΗΚ παραλληλόγραμμον, καὶ ἀπὸ βάσεων μὲν τῶν HK, KA παραλληλογράμμων, ὕψους δὲ τοῦ αὐτοῦ τῷ 48 στερεὰ συμπεπληρώσϑω τὰ ES, AIL καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν AB, I4 στερεῶν ἐστιν ὡς ἡ 4E πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΝ, καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΖΡ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΓΖ τῇ ΕΚ, ἡ δὲ ΖΝ τῇ EA, ἡ δὲ ZP τῇ ΕΜ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ AE πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ HE πρὸς τὴν EA καὶ 1 ΘΕ πρὸς τὴν EM. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ AE πρὸς τὴν EK, οὕτως τὸ ΑΗ [παραλληλόγραμμον] πρὸς τὸ HK παρ-
1. KE] EK BFV. 4. 'ZN]ZN in ras. B. ἐστιν Mi supra m. 2 V. κατὰ κορυφὴν γάρ mg. m. 1 b. 5. καὶ ὅμοιον postea add. mg. m. 1 P. 1. παραλληλόγραμμον! om. F.
8. παραλληλογράμμῳ] om. P. EO] O 1n ras. 9. Z4 BFV στερεοῦ) so eras. B. 10. ἴσα — 11. ἀπεναντίον] mg. m. 2 B. 10. ἐστί] εἰσίν P. 12. ἐστί] εἰσίν P; «d ἐστι FV. τρία] λοιπὰ τρία V et bis F. 18. ἴσα] ἴσα ve b; τὸ add. m. 2 B. ἐστί] ve FV. In V lin. 12 τὰ δέ — 18. ὅμοια punctis del. 18. KO] O in ras. V. 15. ἀπό] ἐπί b.
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 103
et quoniam duo latera K E, ΕΖ duobus Il'Z, ZN aequalia sunt, uerum etiam | KEA—FI'ZN (quia L AEH — ΓΖΝ propter similitudinem solidorum 4B, D24)), ert K4-—IN. eadem de causa etiam KM parallelogrammum parallelogrammo ΓΡ aequale est ei simile ei praeterea EO parallelogrammo 7/Z. itaque tria parallelogramma solidi KO tribus paralle- | logrammis solidi ΓΖ aequalia sunt et si- milia. uerum in utro- que solido tria par- allelogramma tribus, quae 118 opposita sunt, aequalia sunt et similia [prop. XXIV]. itaque totum solidum K O toti so- : | lido ΓΖ aequale est
et simile [def. 10]. expleatur parallelogrammum H K, ei in basibus parallelogrammis HK, K 4, altitudine autem eadem, qua 4B, solida expleantur E, Ζ4Π. et quoniam propter similitudinem solidorum 4B, ΓΖ est AE: I'Z — EH:ZN — ΕΘ:2Ρ [def.9; VI def. 1], ei I'Z — EK, ZN—EA,ZP-— ΕΜ, οὐἱῦ AE: EK
1) Def. 9; VI def. 1. et [ AEH — KE 4A [I, 15]. 2) VI, 14. eadem similia esse ut per se intellegitur, 18 &ddi debuit. sed cfr. p. 75 not. 29.
17. τῷ) corr. ex τοῦ m. 1 V. 20. ΕΘ] 6 e corr. m. 1 b. ΓΖ] Zr V. 299. AE] EA b. ἡ HE — 34. οὕτως] om. b. 24. παραλληλόγραμμον] om. P. τό] corr. ex τήν V.
10
15
20
tO σι
104 ZTOIXEIQSN εα΄.
αλληλόγραμμον, ὡς δὲ ἡ HE πρὸς τὴν EA, οὕτως τὸ ΗΚ πρὸς τὸ K A, ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς EM, οὕτως τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ' καὶ ὡς ἄρα τὸ AH παραλλη- λόγραμμον προς τὸ ΗΚ, οὕτως τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΑ καὶ τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ. ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὸ ΔΗ πρὸς τὸ ΗΚ, οὕτως τὸ 48 στερεὸν πρὸς τὸ ΕΞ στερεόν, ὡς δὲ τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΑ, οὕτως τὸ ΞΕ στερεὸν πρὸς τὸ Π4 στερεόν, ὡς δὲ τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ, οὕτως τὸ Π. στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ στερεόν" καὶ ὡς ἄρα τὸ 48 στερεὸν πρὸς τὸ ΕΞ, οὕτως τὸ EX πρὸς τὸ Π4 καὶ τὸ Π4ἅ πρὸς τὸ ΚΟ. ἐὰν δὲ τέσσαρα με- γέϑη κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον f, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ δεύ- vsgov: τὸ 48 ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ 48 πρὸς τὸ ΕΠ. ἀλλ᾽ ὡς τὸ AB πρὸς τὸ EE, οὕτως τὸ 4 παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ HK καὶ ἡ AE εὐϑεῖα πρὸς τὴν ΕΚ᾽ ὥστε καὶ τὸ 48 στερεὸν πρὸς τὸ KO τριχλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ 9] 4Ε πρὸς τὴν EK. ἴσον δὲ τὸ [μὲν] KO στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ, ἡ δὲ EK εὐϑεῖα τῇ ΓΖ᾽ καὶ τὸ 4B ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ I'Z1 στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ 7] ὁμόλογος αὐτοῦ πλευρὰ ἡ AE πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΓΖ.
Τὰ ἄρα ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλα- σίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Πόρισμα.
Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν τέσσαρες εὐϑεῖαι
ἀνάλογον ὦσιν, ἔσται ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην,
1. HE] corr. ex NE m. 1 b. 2. τὴν EM BV. 8. Post ΠΕ add. παραλληλόγραμμον V et m. rec. F. b. τὸ
ELEMENTORUM LIBER XI. 105
— HE:EA-—O0E:EM. sed 4E: EK — AH: HK, HE: EA4-— ΗΚ: ΚΑ, ΘΕ: EM — II E: K M [VI,1]. ilaque 4H: HK — HK:KA4-IIE: KM. uerum
AH:HK-— AB: ES, HK: K A— ΞΕ: ΠΩ,
IIE : K M — II A: KO [prop. XXXII].
quare 4B: EX — EAR:IIA4—I14: KO. sin quat- tuor magnitudines deinceps proportionales sunt, prima ad quartam iriplicatam rationem habere dicitur quam ad securidam [V def. 10]. itaque 4B: KO — 4B*: EA*. es& aulem 4B: EX — AH: HK — AE: EK. quare AB: KO — AE! i EK. sed KO— I'4, EK — ΓΖ. quare etiam 4B: ΓΖΩ͂ — AE? : Z*.
Ergo similia solida parallelepipeda triplicatam ra- lionem habent quam latera correspondentia; quod erat demonstrandum.
Corollarium.!)
Hine manifestum est, si quattuor rectae inter se proportionales sint, esse, ut prima ad quartam, ita
1) Num hoc corollarium genuinum sit, iure ambigi potest. -
KM] ΚἈΜΈ. 7.«0 KA] KA b. 11. KO] O non liquet, supra scr. O m. 1 b. 18. ἤπερ] τὸ πρῶτον g. 14. ΚΟ] O in ras. B. τριπλασί- inras. m. AP. 16. τὸ AH] τό τε AH F? (F hoc loco difficilis est lectu). AH] corr. ex 4B m. 1 b, H e corr. B m. rec. 18. KO] O in ras. B; supra scr. 6 m. 1 b. 19. μέν] om. P. KO] O in ras. B. 20. στερεῷ] om. b. 21. στερεὸν ἄρα B. 23. αὐτοῦ πλευράν b.
24. παραλληλοεπ. V. 95. ἐστίν B. 28 sq. Ex porismate nullum uestigium est in F; in b totum in mg. est m. 1, add. οὕτως iv ἄλλῳ. 29. Ànte ἀνάλογον ras. 1 litt. P.
106 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
οὕτω τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης στερεὸν παραλληλεπίπεδον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀνα- γραφόμενον, ἐπείπερ καὶ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ πρὸς τὴν δευτέραν.
ὅ | λδ΄.
Τῶν ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντι- πεπόνϑασιν al βάσεις τοῖς ὕψεσιν" καὶ Qv στε- φεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν ol βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.
i0 Ἔστω ἴσα στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ AB, Du λέγω. ὅτι τῶν AB, I'4 στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνϑασιν αἴ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ EO βάσις πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΩ͂ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ 418 στερεοῦ ὕψος.
i5 Ἔστωσαν γὰρ πρότερον αἵ ἐφεστηκυῖαι αἴ AH, EZ, 4B, OK, ΓΜ, NX, OA, II P πρὸς ὀρϑὰς ταῖς βάσεσιν αὐτῶν" λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ EO βάσις πρὸς την ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν AH.
Εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ EO βάσις τῇ NII βάσει,
90 ἔστι δὲ καὶ τὸ 4B στερεὸν τῷ ΓΩ͂ στερεῷ ἴσον, ἔσται καὶ ἡ ΓΜ τῇ AH ἴση. τὰ γὰρ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βά-
1. οὕτως FVb. παραλληλοεπ. V. 8. ἐπειδήπερ. .B V. | b. 1 seq. ras. 1 litt. F. 7. ὕψεσι Vb et seq. ras. 8 litt. g. |
12. ὕψεσι F'V b. 16. 4B] 4 e corr. B. Θ K] corr. ex | OH m. 1b. I'M]supra scr. NN m. 1 b. 17. βάσεσι b. αὐτῶν] om. b. 18. 4H | inter 4 οὐ H 1 litt. eras. P. 20. ἔστιν B. ἔσται) ἔστε Vbg 21. τὰ γάρ --- 32. βάσεις] om. BV; hab. Pb et fuerunt in F, sed nihil relictum est niei TO υψος στερε, quibus add. y: -ov τοῖς ὕψεσι omissis uerbis εἰ γάρ --- οὐσῶν p. 108, 1.
ELEMENTORUM LIBER XI. 107
solidum parallelepipedum in prima descriptum ad so- lidum in secunda simile et similiter descriptum, quo- niam etiam prima ad quartam iriplicatam habet ratio- nem quam ad secundam.
XXXIV.
Aequalium solidorum parallelepipedorum bases in contraria ratione suni atque altitudines; et quorum . solidorum parallelepipedorum. bases in coniraria ra- lione sunt atque altitudines, ea aequalia sunt.
Sint 4B, I'Zl aequalia solida parallelepipeda. dico, solidorum parallelepipedorum 418, ΓΖ bases in con- iraria ralione esse atque altitudines, et esse, ut EO ad NII, iia altitudinem solidi I'Z ad altitudinem so- lidi 4B.
Prius enim rectae eminentes 4H, EZ, 48, OK, ΓΜ, NX, ΟΖ, ΠΡ ad bases suas perpendiculares sint. dico, esse ΕΘ: ΝΗ — ΓΜ: AH.
iam si ΕΘ — ΝΗ, et 4B — ΓΖ, erit etiam ΓΜ — ΔΗ; nam solida parallelepipeda, quae eandem ha-
108 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
σεις [εἰ γὰρ τῶν EG, NII βάσεων ἴσων οὐσῶν μὴ εἴη τὰ ΑΗ, ΓΜ ὕψη ἴσα, οὐδ᾽ ἄρα τὸ 48 στερεὸν ἴσον ἔσται τῷ ΓΖ. ὑπόκειται δὲ ἴσον" οὐκ ἄρα ἄνισόν ἐστι τὸ ΓΜ ὕψος τῷ AH ὕψει" ἴσον ἄρα]. καὶ ἔσταε
ὅ ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν NII, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν AH, καὶ φανερόν, ὅτι τῶν 48, ΓΖ στερεῶν παρ- αλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνϑασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν. Μὴ ἔστω δὴ ἴση ἡ ΕΘ βάσις τῇ NII βάσει, ἀλλ᾽
ἔστω μείξων ἡ ΕΘ. ἔστι δὲ καὶ τὸ 4B στερεὸν τῷ 10 ΓΖ στερεῷ ἴσον᾽ μείξων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΜ τῆς AH [εἰ γὰρ μή, οὐδ᾽ ἄρα πάλιν τὰ 48, Γ4 στερεὰ ἴσα ἔσται" ὑπόκειται δὲ ἴσα]. κείσϑω οὖν τῇ AH ἴση ἣ ΓΤ, καὶ συμπεπληρώσϑω ἀπὸ βάδεως μὲν τῆς N II, ὕψους δὲ τοῦ ΓΤ,, στερεὸν παραλληλεπέπεδον τὸ (DI. 15 καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ AB στερεὸν τῷ Γ4 στερεῷ, ἔξωϑεν δὲ τὸ ΓΦ, τὰ δὲ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ 4B στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως τὸ Γ4 στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν. ἀλλ ὡς μὲν τὸ 48 στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, 90 οὕτως 71 ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν’ ἰσοὐψῆ γὰρ τὰ 48, ΓΦ στερεά" ὡς δὲ τὸ ΓΖΩ͂ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως ἡ ΜΠ βάσις πρὸς τὴν TII βάσιν καὶ ἡ ΓΜ πρὸς τὴν l'T- καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΓΤ. ἴση οὅ δὲ ἡ ΓΤ τῇ 4H καὶ ὡς ἄρα ἡ EO βάσις πρὸς τὴν
2. ein] ἔστω φ. 8. ἔσται] ἐστί Ὁ. I4 στερεῷ F'V. 5. NII βασιν b. 7. ὕψεσι Vbg. 10. ἐστί7 om. V. 11. πάλιν] supra m. rec. V. 19. ἔσονται P. ὑπόκεινται BV. AH] H in ras. m. 1 P. 14. I'T] I'in ras. B. παραλληλοεπ. V. | dI']lI'inras B. 16. ἔξωθεν δε] ἄλλο δὲ τί ἐστι b, ἄλλο δέ τι V, ἄλλο τι supra scr. δέ m. 2 D. ΦΓ ΒΡ, et F, sed corr. Dein add. στερεόν F V. In F uerba
ELEMENTORUM LIBER XI. 109
bent altitudinem, inter se eandem rationem habent quam bases [prop. XXXII].!) et erit ΕΘ: ΝΗ — I'M: AH,
et adparet, solidorum 4B, I'4 parallelepipedorum bases in coniraria ratione esse atque altitudines.
iam ne sit EO — N II, sed ΕΘ» ΝΠ. uerum eliam 4B — ΓΖ. itaque etiam ΓΜ» AH.?)
ponatur igitur ΓΤ — AH, et in basi NII, alti- tudine autem I'T expleatur solidum parallelepipedum QI. et quoniam 4B — I4, exirinsecus autem ad- sumptum est ΓΦ, et aequalia ad idem eandem ratio- nem habent [V, 7], erit 4B: ΓΦ — ΓΖ4: ΓΦ. uerum AB:I'O-—EO:NII(prop. XXXII]; nam solida 4B, ΓΦ eandem habent altitudinem. et I: I' — MIT : TII [prop. XXV] — M: I'T [VI, 1]. quare etiam ΕΘ: NII — MI:I'T. sed ΓΤ — AH. itaque etiam
1) Ita concludi uoluit Euclides: adparet, solida aequalia eandem rationem habere quam bases et ipsas aequales, nec hoc fieri potest, nisi altitudines et ipsae aequales erunt. et hanc eoncludendi rationem recte, sed paullo breuius indicauit citata prop. 32. hoc interpreti alicui satis antiquo ansam dedit uerbis εἶ γάρ — ἴσον ἄρα lin. 1—4 interpolatis mentem Enclidis uerbose explicandi. quo facto in codd. deterioribus uerba illa ge- nuina τὰ γάρ — βάσεις p. 106, 21—22 deleta sunt, cum intel- legeretur, duplicem causae indicationem per γάρ illatam ferri non posse. illo loco damnato sequitur, uerba simillima &í γάρ — ἴσα p. 108, 11—12 et ipsa esse interpolata. et per se suspectis- sima sunt, quippe quae causam idoneam eius rei, quam con- firmare debeant, minime contineant.
2) Hoc uia indirecta ex prop. 81 demonstrari potest, cum adpareat, solida augeri et basibus et altitudinibus auctis.
ἄλλο δέ ἐστι τὸ D I' στερεόν mg. m. 1, ut uidetur. 17. στε- esóv] om. V. 18. οὕτω B V, comp. F. 29. στερεόν] ins. m.2F. TII] mut. in IIT V, IITBb. 23. MP BFV.
24. βάσιν] supra m. 2 F. ΜΜΓῚ ΝΓ B.
110 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν AH. τῶν AB, ΓΖ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνϑασιν αἱ βάδεις τοῖς ὕψεσιν. Πάλιν δὴ τῶν 48, ΓΖ στερεῶν παραλληλεπιπέδων b ἀντιπεπονθέτωσαν al βάδεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ I'4 στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ 48 στερεοῖ ὕψος' λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ 4B στερεὸν τῷ Γ4 στερεῷ. Ἔστωσαν [γὰρ] πάλιν αἱ ἐφεστηκυῖαι πρὸς ὀρϑὰς 10 ταῖς βάσεσιν. καὶ εἰ μὲν ἴση ἐστὴν ἡ EO βάσις τῇ NII βάσει, καί ἐστιν ὡς ἣ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ Γ4 στερεοῦ ὕψος πρὸς τὲ vot AB στερεοῖ ὕψος, ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ τοῦ ΓΩ͂ στε- ρεοῦ ὕψος τῷ τοῦ 4B στερεοῦ ὕψει. τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων 16 βάσεων στερεὰ παραλληλεπέπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ AB στερεὸν τῷ I4 στερεῴ. Μὴ ἔστω δὴ ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ [βάδει] ἴση, ἀλλ᾽ ἔστω μείξων ἡ EO* μεῖξον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ τοῦ ΓΖ στερεοῦ 20 ὕψος τοῦ τοῦ 4B στερεοῦ ὕψους, τουτέστιν 9 ΓΜ τῆς 4Η. κείσϑω τῇ AH ἴση πάλιν ἡ ΓΤ, καὶ συμ- πεπληρώσϑω ὁμοίως τὸ ΓΦ στερεόν. ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν NII βάδιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν AH, ἴση δὲ ἡ AH τῇ I'T, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ 26 βάσις πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ EO [βάσις] πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως τὸ 4B στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν" ἰσοὐψῆ γάρ ἐστι τὰ AB, ΓΦ στερεά" ὡς δὲ ἡ ΓΜ πρὸς τὴν
1. ΓΜ. AB, Τ᾽ Δὴ om. F V. 2. ἄρα] δὲ F. , 8. ὕψεσι Vb. 4. I'd ἄρα b. παραλληλεπιπέδων] om. V.
ELEMENTORUM LIBER XI. 111
E06: NII — ΜΓ: AH. ergo solidorum parallelepipe- . dorum 418, I'41 bases in coniraria ratione sunt atque altitudines. |
Rursus solidorum parallelepipedorum 4B, ΓΖ bases in coniraria ratione sint atque altitudines, et sit ut ΕΘ ad NII, ita altitudo solidi ΓΖ ad altitu- dinem solidi 4B. dico, esse 4B — ΓΖ.
rursus rectae eminentes ad bases perpendiculares sint. et si EO — ΝΗ, ei est ut basis ΕΘ ad basim NI, ita Altitudo solidi ΓΖ ad altitudinem solidi 4B, erit altitudo solidi If altitudini solidi 4B aequalis. uerum solida parallelepipeda in aequalibus basibus collocata et eandem altitudinem habentia inter se aequalia sunt [prop. XXXI]. ergo 4B — ΓΖ.
iam ne sib EO — NII, sed ΕΘ» ΝΠ. itaque eliam altitudo solidi ΓΖ maior est altitudine solidi A B [p. 109 not. 2], hoc est I'M — 4 H. ponatur rursus I'T-—.AH, et similiter expleatur solidum I'd. quo- niam EO: NII — ΜΓ: AH, et est AH —I'T, erit E0:NII —- l'M:I'T. verum ΕΘ: NII -- AB:I'Ó [prop. XXXII]; nam solida 4B, ΓΦ eandem altitudi-
b. ἀντιπεπόνϑασι b. ὕψεσι Vb. 6. βάσιν] om. V. IZ4]in ras. V. 7. AB] in ras. V. λέγω — 8. ἐστί] mg. φ. 9. γάρ] om. P. 10. βάσεσι Vbg. ἐστί») om. V g.
ἡ Ee βάσις] mg. g. — 12. τό] (prius) mg. m. 2 P. 18. ἴσον ἄρα — 14. ὕψει] om. g. 18. ἐστέ] om. V. καί] om. b.
14. δέ) δ᾽ b. 15. βάσεων ὄντα Theon (BFVb). παρ- αλληλοεπ. V. 16. ἐστέ] ἐστίν P. 18. βάσει) om. BF Vb. 19. μεῖξον] usífo» F. ἐστί om. V. 21. τῆς] τῇ b. 22. Ánte ἐπεί add. καί m. 2 V. 283. I'M b. 26. ΓΜ PB, V m. ?; ΜΓ Ὁ, V m. 1, F in mg. m. 2. πρός — 26. βάσιν] om. F; in mg. quaedam euan. 26. βάσις] om. P. 27. οὕτως — πρός] 9.
.119 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
AIT, οὕτως ἤ τε MII βάσις πρὸς τὴν ΠΤ βάσιν καὶ
10
15
20
25
τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν. καὶ ὡς ἄρα τὸ AB στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν᾽ ἑκάτερον ἄρα τῶν AB, ΓΖ πρὸς τὸ ΓΦ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ 4B στερεὸν τῷ Γ4 στερεῷ [ὕπερ ἔδει δεῖξαι]. Μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ἐφεστηκυῖαι αἴ ΖΕ, BA, HA, ΘΚ, ἘΝ, 40, MI, PII πρὸς ὀρϑὰς ταῖς βάσεσιν αὐτῶν, καὶ ἤχϑωδσαν ἀπὸ τῶν Ζ, H, B, K, X, M, 4, P σημείων ἐπὶ τὰ διὰ τῶν EO, ΝῚ ἐπίπεδα κάϑετοι καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Z, T, T, Φῷ, X, Ψ, $2, c, καὶ συμπεπληρώσϑω τὰ ΖΦ, 5 στερεά" λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἴσων ὄντων τῶν AB, ΓΩ͂ στερεῶν ἀντιπεπόνϑασιν αἱ βάδεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΖ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ 4B στερεοῦ ὕψος. Ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ AB στερεὸν τῷ Γ4 στερεῷ, ἀλλὰ τὸ μὲν AB τῷ ΒΤ ἐστιν ἴσον" ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΖΚ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος [ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐϑειῶν]" τὸ δὲ D'4 στερεὸν τῷ 4 Ψ᾿ ἐστιν ἴσον' ἐπί τε γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς PA καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος [ὧν αἵ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐ- ϑειῶν}]" καὶ τὸ BT ἄρα στερεὸν τῷ “1 If στερεῷ ἴσον ἐστέν [τῶν δὲ ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων, ὧν τὰ ὕψη πρὸς ὀρϑάς ἐστι ταῖς βάσεσιν αὐτῶν, ἀντι-
2. στερεόν] (alt. om. B. 6. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) del. August. 7. μὴ] e corr. m. 2V. ef] (prius) om. ΕΥ͂. B.A4] supra Scr. 2 m. 1 b. 8. OK] supra scr. 4? m. 1 b.
9. K] corr. ex I' V. 10. ἐπεί F, et V, sed corr. διά] om. B. NII βάσεων B. 11. συμβαλέτωσαν PV. — Z] postea ins. B; ras. 1 htt. b. 12. s] renou. m. 2 B. Post s in fine lin.
(
ELEMENTORUM LIBER XI. 113
nem habent. et ΓΜ: ΓΤ — ΜΠ: IIT [VI, 1] — IZ : ΓΦ [prop. XXV]. quare etiam 4B: ΓΦ — ΓΖ: ΓΦ. ilaque utrumque 4B, ΓΖ ad ΓΦ eandem rationem habet. ergo 4B — ΓΖ [V, 9].
Iam rectae eminentes ΖΗ, ΒΑ, H 4, OK, EN, 40, MT, PII ad bases suas perpendiculares ne sint, el ducantur ἃ punctis Z, H, B, K, &, M, 4, P ad plana per EO, NII ducta perpendiculares, et cum planis in punctis Z, T, T, ὦ, X, Ψ, 9, c concur- rant, eb expleantur solida Z , 52. dico, sic quoque, 8i 4B — I'4, bases in coniraria ratione esse aique altitudines, et esse ut. ΕΘ ad ΝΠ, sta altitudinem solidi ΓΖ, ad altitudinem solidi 4 B.
quoniam 4B — ΓΩ͂, et 4B — BT (prop. XXIX —XXX] (nam in eadem basi sunt Z K et eandem ha- bent altitudinem)), et ΓΖ — 21*P [id.] (nam rursus in eadem basi sunt ΡΞ et eandem habent altitudinem), erit eliam B T — 41. erit igitur?) ut ZK basis ad
1) Rectissime obseruauit Simsonus p. 402: » inepte exclu- ditur alter casus". quare cum eo uerba ὧν αἵ — εὐθειῶν lin. 20,'28 — 24, p. 116, 7—8 pro interpolatione imperita ha- benda 'sunt.
2) Quae sequuntur uerba τῶν δέ ---ὕψεσιν Ρ.112, 2 — p. 114,1 et p. 116, 2—4 inepta sunt, quia altitudines semper ad bases perpendiculares sint necesse est, quae est iusta eiusdem Sim- soni obiectio. sed τὰ ὕψη cum "Augusto in αὖ ἐφεστῶσαι mu- tare temerarium est; quare uerba illa delenda sunt.
καί, dein mg. m. 2 add. σημεῖα F; s σημεῖα V. A9] 9 in ras. V. 18. ὅτι] δή V. 14. ὕψεσι Vb. 16. NII] ΠΝ in ras. V. 11. Post ἐπεί add. γάρ BF b, et supra scr. m. 1, sed deletum V. τό] corr. ex τῷ m. 1 V. 18. BT] T in ras. V. 19. εἰσιν P. ὑπό) ἐπί V. — 992. εἰσι] ἐστι comp. b. PE] EP Bb. ὑπό) ἐπί V. 24. Post τό del τοῦ F. BT] B e corr. V. ἐστιν ἴσον V. — 95. τῶν} corr. ex ὧν m. 2 Εἰ; àv V. ὧν] om. V. 296. ἐστι] eio: b
Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 8
414 ZTOIXEION ια΄.
πεπόνϑασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν]. ἔστιν ἄρα ὡς ἢ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΒΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ “1 στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ BT στερεοῦ ὕψος. ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΚ βάσις τῇ ΕΘ βάσει, ἡ δὲ ΞΡ βάσις τῇ 5 ΝΠ βάσει" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ EG βάσις πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ 4] Ψ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ BT στερεοῦ ὕψος. τὰ δ᾽ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν Z4 TP, BT στερεῶν καὶ τῶν 4I, B4 ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΖΓ στερεοῦ 10 ὕψος πρὸς τὸ τοῦ 4B στερεοῦ ὕψος. τῶν AB, ΓΩ͂ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνϑασιν αἵ βάδεις τοῖς ὕψεσιν. Πάλιν δὴ τῶν AB, ΓΖ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπονθέτωσαν ai βάδεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς 16 ἡ EO βάσις πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΩ͂ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ 4B στερεοῦ ὕψος" λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ AB στερεὸν τῷ Γ4 στερεῷ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκχευασϑέντων. ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ I'4 20 στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ 418 στερεοῦ ὕψος. ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΘ βάσις τῇ ΖΚ βάσει, ἡ δὲ NII τῇ ΞΡ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν EP βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΖ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ 418 στερεοῦ ὕψος. τὰ δ᾽ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν AB, I'4 στερεῶν 25 καὶ τῶν ΒΤ, ΦΔΙΨ' ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ 4] Ψ' στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ BT στερεοῦ ὕψος. τῶν BT, 4*9? ἄρα στε-
2. τὴν XP] corr. ex τη NAXP V. 8. BT] T e corr. V. 4. ΕΘ] e corr. V. b. βάσει ἐστὶν ἴση V. τῇ ΝΠ βάσει Ὁ. 7. στερεοῦ] om. D. 10. Γ᾿ 47 in ras. P. 11. στερεῶν ἄρα B. 19. ὕψεσι Vbg. 14. ὕψεσι F Vb.
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 115'
basim EP, ita altitudo solidi 4] 9I, ad altitudinem so- lidi B T (p.110, 1sq.]. uerum ΖΚ — ΕΘ, EP —NII.
erii igitur αὖ EO ba-
sis ad basim ΝΙ͂, ita Z altitudo solidi 7/4 ad e altitudinem solidi B T. sed solidorum Z4 P, BT οὐ 4Γ, B.4 eadem est altitudo. quare erit ut basis ΕΘ ad basim N 11, ita altitudo solidi ΖΓ ad altitudinem solidi " AB. ergo solidorum AB, I4 parallelepipe- dorum bases in con- traria ratione sunt atque altitudines.
Iam rursus solidorum parallelepipedorum 4B, ΓΖ bases in coniraria ratione sint atque altitudines, et sil ut E€ basis ad basim NI, ita altitudo solidi ΓΖ ad altitudinem solidi 4B. dico, esse 4B — ΓΖ.
iisdem enim comparatis, quoniam est αὖ basis EG ad NII basim, ita altitudo solidi ΓΖ ad altitudinem solidi 4B, οὐ E0 — ZK, ΝΠ — AP, erit ut basis ΖΚ ad ,5P basim, ita altitudo solidi ΓΖ ad altitudi- nem solidi 4B. sed solidorum 4B, ΓΖ et B T, Z5 eadem est altitudo. erit igitur ut ΖΚ basis ad basim AP, iia altitudo solidi 21 3 ad altitudinem solidi B T. iiaque solidorum parallelepipedorum B T, 4 Δ bases
K B
17. ἴσον] om. Vg. ἔσον τῷ V9. 19. I'4] bis g. 23. AB] BA FV. 27. BT] (alt) T in ras. V. 8}
ex
10
15
20
2b
116 . ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
ρεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνϑασιν ei βάσεις τοῖς ὕψεσιν [ὧν δὲ στερεῶν παραλληλεπιπέδων τὰ ὕψη πρὸς ὀρϑάς ἐστι ταῖς βάσεσιν αὐτῶν, ἀντιπεπόνϑασι δὲ oí βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα)" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΤ στερεὸν τῷ 241" στερεῷ. ἀλλὰ τὸ μὲν BT τῷ Β.4 ἴδον ἐστίν" ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάδεως [εἰσι] τῆς ΖΚ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος [Ov αἵ ἐφεστῶ- σαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν]. τὸ δὲ τ: στερεὸν τῷ ΖΓ’ στερεῷ ἴσον ἐστίν [ἐπί τε γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἶσι τῆς ΞΡ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος καὶ οὐχ ἐν ταῖς αὐταῖς εὐθείαις]. καὶ τὸ 4B ἄρα στε- gcóv τῷ l'4 στερεῷ ἐστιν ἴσον ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
λε΄.
Ἐὰν ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι, ἐπὶ δὲ τῶν κορυφῶν αὐτῶν μετέωροι εὐϑεῖαι ἐπι- σταϑῶσιν ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρα, ἐπὶ δὲ τῶν μετεώρων ληφϑῇ τυχόντα σημεῖα, καὶ ἀπ᾽ αὐτῶν ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα, ἐν οἷς εἰσιν αἱ ἐξ ἀρ- χῆς γωνίαι, κάϑετοι ἀχϑῶσιν, ἀπὸ δὲ τῶν γε- νομένων σημείων ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐπὶ τὰς ἐξ ἀρχῆς γωνίας ἐπιξευχϑῶσιν εὐϑεῖαι, ἴσας γω- νίας περιέξουσι μετὰ τῶν μετεώρων.
Ἔστωσαν δύο γωνίαι εὐθύγραμμοι ἴσαι αἵ ὑπὸ BAL, EAZ, ἀπὸ δὲ τῶν 4, 4 σημείων μετέωροι εὐϑεῖαι ἐφεστάτωσαν αἱ AH, 4M ἴσας γωνίας περι-
. / M ^ 3 "“ 4 ^ δ , e , ἔχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρα,
2. τὰ ὕψη) αἵ ἐφεστηκυῖαν August. 8. ἐστι) 9, comp. b, ἔστιν P, εἰσι BV. ἀντιπεπόνϑασιν PV. 4. δέ] supra
ELEMENTORUM LIBER XI. 117
in contraria ratione sunt aique altitudines. quare BT -.47T [p. 112, 5 sq.]. sed BT — ΒΑ [prop. XXIX—XXX]; nam in eadem basi sunt Z K et ean- dem habent altitudinem; et 27] Ψ — Z[I'[id.." ergo 4 B — ΓΖ: quod erat demonstrandum.
XXXV.
Si datis duobus angulis planis aequalibus in uer- ticibus eorum rectae sublimes eriguntur angulos singu- los singulis aequales cum iis, quae ἃ principio erant, comprehendentes, et in erectis puncta quaeuis sumun- tur, et ab iis ad plana, in quibus sunt anguli ill, perpendiculares ducuntur, et a punctis, quae in planis oriuntur, ad angulos?) a principio datos rectae du- euntur, hae cum erectis aequales angulos com- prehendent.
Duo anguli rectilinei sint B.AI', EZ4Z, et ἃ punctis 4, 4 rectae 4H, 4M sublimes erigantur angulos singulos singulis aequales cum iis, quae a principio
1) Uerba ἐπί τε — εὐθείαις lin. 9—11 subditiua existimo. 2) H. e. ad uertices eorum.
scr. m. 2 V. 6. BA] AB P. 7. εἰσι) om. P. 9. τῷ ΖΓ — 10. βάσεως] F, praecedentibus iisdem uerbis ἃ manu g. 9. I'd b. τῆς αὐτῆς πάλιν V et q (non F). 10. ἐστι comp. b. PA b. 11. ἄρα] om. V, ins. m. 2 F. 19. A4T' B. 13. 167] non liquet 1n F. 14. ὦσιν PB. Post ἐπί del πέδῳ m. 1 P. 17. ἑκατέραν] -αν in ras. B. 19. ἐπὶ τά] om. P. εἰσι b. 21. ἐν] ὑπὸ τῶν καϑέτων ἐν Theon (BFVb). 28. μετεωροτέρων Vg. 26. AH] H in ras. D. AH, AM F.
σι
10
15
20
25
118 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
τὴν μὲν ὑπὸ MAE τῇ ὑπὸ HAB, τὴν δὲ ὑπὸ MAZ τῇ ὑπὸ Η4Γ, καὶ εἰλήφϑω ἐπὶ τῶν AH, 4M τυ- χόντα σημεῖα τὰ Η, Μ, καὶ ἤχϑωσαν ἀπὸ τῶν Η, Μ σημείων ἐπὶ τὰ διὰ τῶν BAT, Ε41 ἐπίπεδα κάϑετοι αἱ H4, MN, καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Ν, 4, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ 44, ΝΖ" λέγω, ὅτι ἴση dove ἡ ὑπὸ HAA γωνία τῇ ὑπὸ ΜΩ͂Ν γωνίᾳ.
Κείσϑω τῇ 4M ἴση ἡ 40, καὶ ἤχϑω διὰ τοῦ Θ σημείου τῇ H.A παράλληλος ἡ ΘΚ. ἡ δὲ Η4 κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὸ διὰ τῶν BAT ἐπίπεδον᾽ καὶ ἡ ΘΚ ἄρα κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὸ διὰ τῶν Β4Γ ἐπίπεδον. ἤχϑοω- cav ἀπὸ τῶν K, Ν σημείων ἐπὶ τὰς 4B, 4Γ, AZ, ΔῈ εὐϑείας κάθετοι αἱ ΚΓ, ΝΖ, KB, NE, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ΘΙ, ΓΒ, ΜΖ, ΖΕ. ἐπεὶ το ἀπὸ τῆς ΘΑ͂ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΑ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΚΓ, ΓΑ͂, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς 0.4 ἄρα ἴδον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ, ΓΑ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν OK, ΚΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς OI* τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΘΑ͂ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΓ, ΓΑ. ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ OI'4 γωνία. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ 4ZM γωνία ὀρϑή ἐστιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ 4ΓΘ γωνία τῇ ὑπὸ AZM. ἔστι δὲ καὶ 4 ὑπὸ ΘΑ4Γ τῇ ὑπὸ ΜΩ͂Ζ ἴση. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ MZ, ΘΑΓ δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μέαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουδαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν τὴν ΘΑ͂ τῇ Mt: καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς
2.4H] HAV. Δ. σημείων] om. V. | BAT'| Binras. B. 5. συμβαλέτωσαν V et supra scr. 4m. 1P. 6, N, 4] supra A4 uaedam euan. F m. 2, ras. V. καί σημεῖα καί. 7. ἴση στίν] ins. m. 1 F, om. V. γωνία τῇ ὑπὸ MAN] in mg. trans-
ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 119
erant, comprehendentes, |, MAE τ HAB, L MAZ -— H AI, et in 4H, 4M puncta quaeuis sumantur H, M, ei ἃ punctis H, M ad plana per ΒΩΓ, EzZZ ducta perpendiculares ducantur H 4, MN, et cum planis in N, 4 concurrant, et ducantur 4 4, "a NA. dico, esse LHAA-—MAN. ponatur 460 — 21M, et per Θ᾽ punctum rectae ΗΠ 4 parallela ducatur ΘΚ. ΗΖ auiem ad planum per BAI'ductum perpendicularis est; itaque etiam ΘΚ ad planum per B.A4I' ductum perpendicularis est [prop. VIII]. a punctis Κα, N ad 4B, 4Γ, AZ, 4 E rectas perpendiculares ducantur ΚΓ, ΝΖ, KB, NE, οὐ ducantur ΘΙ᾽, ΓΒ, MZ, ΖΕ. quoniam Θ 43 — 0 K*-L- KA4* et K 4? — KI*-- I4? (I, 41], erit eliam 9 4? — 0 K? -- KI? -]- I4. uerum ΘΓ" — 9. K? Ἔ KI? [id]. quare 04? —O0I?--TD'4?. itaque LOI'4 rectus est [I, 48]. eadem de causa etiam L 44 Z M rectus est. itaque ( 4I'O — 4ZM. sed etiam LOAI'—M.ZAZ. ilaque duo trianguli sunt. MZZ, € 4I' duos angulos duobus angulis singulos singulis aequales habentes et unum latus uni lateri aequale, quae sub altero angulorum aequalium subtendunt, 94 -- ΜΖ. iaque etiam reliqua latera reliquis late-
eunt F. γωνία ἴση iow V. MAN] 4ecor. V. γωνίᾳ] om. V. 8. «ol κεέσϑω B, κείσϑω γάρ FV. 12. 4 ΓῚ A e corr. V. 18. NE) E in ras. m. 1P. 14. καὶ ἐπεί Bb. — 15. ΚΑ] K corr. ex 4 m. 1 b. 16. zov] τῆς b. 20. OI 4| IA in ras. B. 21. 42M] ΖΜ in ras. B. 322. ἔστιν PB. — 23. δή] supra m. 1 V. 924. δυσὶ γωνίαι) om. P. 27. 4 M B.
Q
10
15
20
25
:120 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.
πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ. ἴδη ἄρα ἐστὶν ἡ ADI τῇ 4Z. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτε καὶ ἡ AB τῇ 4Ε ἐστιν ἴση [οὕτως ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ΘΩ͂, ΜΕ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς 4Θ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν AK, ΚΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς 4Κ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν 48, ΒΚ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν 4B, BK, ΚΘ ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ 40. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν BK, KO ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς BO: ὀρϑὴ γὰρ ἡ ὑπὸ OKB γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν ΘΚ κάϑετον εἶναι ἐπὶ τὸ ὑποχείμενον ἐπίπεδον᾽ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 40) ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν AB, BG: ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ A4BO γωνία. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΔῈΜ γωνία ὀρϑή ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ BAO γωνία τῇ ὑπὸ EAM ἴδη" ὑπόκεινται γάρ' καὶ ἔστιν ἡ 4Θ τῇ 4Μ ἴση" ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἣ AB τῇ 4E] ἐπεὶ ovv ἴση ἐστὶν ἡ μὲν AD τῇ 4Ζ. ἡ δὲ AB τῇ AE, δύο δὴ αἵ IA, AB δυσὶ ταῖς Z4, 4Ε ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ καὶ yovíe ἡ ὑπὸ ΓΑ͂Β γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Ζ4Ε ἐστιν ἴση" βάσις ἄρα ἡ BI' βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστὶ καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ καὶ ei λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις" ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ALB γωνία τῇ ὑπὸ A4ZE. ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΓΚ ὀρϑῇ τῇ ὑπὸ 412Ν ἴση" καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ BI'K λοιπῇ τῇ ὑπὸ EZN- ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΚ τῇ ὑπὸ ΖΕΝ ἐστιν ἴση. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ BDK, ΕΖΝ [τὰς] δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΒΓ τῇ EZ' καὶ τὰς λοιπὰς
1. ἴση] ἴσην P, corr. m. 1. 8. ἴση] om. B. ἀἍ. τοῖς] τό P. 1.τῆς 40 V. 8. γάρ] in ras. m..1 P. — 9. εἶναι] om.
. ELEMENTORUM LIBER XI. 121
ribus aequalia habebunt singula singulis [I, 26]. ita- que 4Γ -ῷ 22. iam eodem modo demonstrabimus, esse 4 B — 4 E.) ian quoniam AI'— 4Z, 4B — AE, duae rectae I4, 4B duabus Z Z, 4 E aequales sunt. sed etiam ( I'4B — ZAZE. quare etiam ΒΓ -- EZ, el triangulus triangulo aequalis et reliqui anguli reli- quis angulis (I, 4]. itaque ( 4I'B — AZE. uerum eliam ( 4I'K — Z4ZN, quia recti sunt. ergo etiam LBI'K-— EZN. eadem de causa etiam /| Il'BK